Гиперкомплексное Число

Элемент конечномерной алгебры с единицей над полем действительных чисел (ранее называвшейся гиперкомплексной системой). Исторически Г. ч. возникли как обобщение комплексных чисел. Действия над комплексными числами соответствуют простейшим геометрия, преобразованиям плоскости (сдвигу, вращению, растяжению и их комбинациям). При попытках построить числа, к-рые играли бы для трехмерного пространства роль комплексных чисел для плоскости, выяснилось, что здесь не может быть полной аналогии; это привело к созданию и развитию теории систем Г. ч. Гиперкомплексная система ранга пполучается введением умножения в n-мерном действительном пространстве , удовлетворяющего аксиомам алгебры над полем. Пусть 1 — единица гиперкомплексной системы и — некоторый базис пространства . Г. ч. из гиперкомплексной системы Uназ. сопряженным Г. ч. Пусть а е- некоторый новый символ. Множество можно превратить в гиперкомплексную систему, определяя сложение формулой и умножение формулой Гиперкомплексная система наз. удвоением гиперкомплексной системы . Примеры гиперкомплексных систем: действительные числа, комплексные числа, кватернионы, Кэли числа (в этом перечне каждая следующая система получается из предыдущей удвоением). Другие примеры — системы двойных и дуальных чисел, Г. ч. вида при n=4, наз. числами Клиффорда — Липшица (эти Г. ч. являются элементами Клиффорда алгебр ранга 2n). Важным примером гиперкомплексных систем являются полные матричные алгебры над . Иногда в определение системы Г. ч. включают требование ассоциативности умножения или отождествляют понятие алгебры и гиперкомплексной системы. Лит.:[1] Кантор И. Л., Солодовников А. С., Гиперкомплексные числа, М., 1973; [2] Калужнин Л. А., Введение в общую алгебру, М., 1973. Я. Н. Вильямс.