Гипергеометрическая Функция

Решение гипергеометрического уравнения Г. ф. может быть определена с помощью так наз. р я-да Гаусса: где — параметры, принимающие любые действительные или комплексные значения, кроме — комплексное переменное, . Функция наз. гипергеометрической функцией 1-го рода. Второе линейно независимое решение пшергеометрич. уравнения (1) наз. гипергеометр к ческой функцией 2-го рода. Ряд (2) сходится абсолютно и равномерно при ; сходимость распространяется и на единичную окружность, если при сходится во всех точках единичной окружности, кроме . Однако существует аналптич. продолжение Г. ф. (2) во внешность единичной окружности с разрезом (см. [1]). Функция — однозначная аналитическая в комплексной плоскости с разрезом . Если или — нуль или целое отрицательное число, то ряд (2) обрывается на конечном числе членов и Г. ф. представляет собой полином относительно z. При Г. ф. не определена, однако Элементарные соотношения. Шесть функций наз. смежными с Г. ф. . Между функцией и любыми двумя смежными с ней существует линейная зависимость. Напр., 15 формул такого типа впервые были найдены К. Гауссом (С. Gauss, см. [2], [31). Ассоциированные функции , где т, п, l- целые числа, могут быть получены повторными применениями соотношений Гаусса. Имеют место формулы дифференцирования Уравнение (1) имеет 24 решения вида где — линейные функции и связаны дробно-линейным преобразованием. Любые три решения линейно зависимы (см. [2]). Существуют квадратичные, кубичные и более высокого порядка преобразования (см. [2] — [5]). Основные интегральные представления. Если и то имеет место формула Эйлера: Разлагая в биномиальный ряд и применяя контурные интегралы для бета-функции, можно получить другие интегральные представления (см. [2]). Интеграл (3) и другие аналогичные формулы, определяющие аналитич. функцию от z, однозначную во всей плоскости z, также могут служить для аналитич. родолжения функции в область Существуют и другие аналнтич. продолжения (см. [1], [2]). Асимптотическое поведение Г. ф. при больших значениях |z| полностью описывается с помощью формул, дающих аналитич. родолжение в окрестность точки (см. [1] — [3]). Если — фиксированные числа и достаточно велико, то при При имеется аналогичное выражение. Для фиксированных и См. также [2], [5], [6]. Представления функций через Г. ф. Элементарные функции: полные эллиптич. интегралы 1-го и 2-го рода: присоединенные функции Лежандра: многочлены Чебышева: многочлены Лежандра: ультрасферические многочлены: многочлены Якоби: Обобщения Г. ф. Обобщенной Г. ф. наз. решение гипергеометрич. уравнения -го порядка (см. [2]). Имеются и другие обобщения Г. ф., напр., на случай многих переменных (см. [2]). Лит.: [1] Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М.-Л., 1963; [2] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, [т. 1], пер. с англ.,2 изд.,М., 1973; [3] Градштейн И. С Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, 5 изд., М 1971; [4] Кummеr Е. Е., "J. reine und angew. Math.", 1835, Bd 15, S. 39-83, 127-72; [5] Handbook of mathematical functions with formulas, graphs and mathematical tables, N. Y., 1964; [6] Уиттекер Э. Т., Ватcон Дж. Н., Курс современного анализа, ч. 2, Трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., М., 1963; [7] Лебедев А. В., Федорова Р. М., Справочник по математическим таблицам, М., 1956; [81 Бурунова Н. М., Справочник по математическим таблицам, М., 1959. доп. l; [9] An index of mathematical tables, 2 ed., v. 1, 2, Oxford, 1962. Э. А. Чистова.