Гильбертова Алгебра

Алгебра Ас инволюцией над полем комплексных чисел, снабженная невырожденным скалярным произведением (|), причем выполняются следующие аксиомы: 1) для всех для всех 3) для всех отображение пространства Ав Анепрерывно; 4) множество элементов вида , всюду плотно в А. Примерами гильбертовых алгебр являются алгебры (относительно свертки), где — компактная топологич. группа, и алгебра операторов Гильберта — Шмидта в данном гильбертовом пространстве. Пусть А — Г. а., Н — гильбертово пространство — пополнение — элементы алгебры ограниченных линейных операторов в H, являющиеся продолжениями по непрерывности умножений слева и справа на хв А. Отображение (соответственно ) есть невырожденное представление алгебры А(соответственно алгебры с инволюцией, противоположной А).в гильбертовом пространстве Н. Слабое замыкание семейства операторов (соответственно V).является алгеброй Неймана в Н;она наз. левой (соответственно правой) алгеброй Неймана данной Г. а. Аи обозначается (соответственно ); и являются коммутантами друг друга; это — полуконечные алгебры Неймана. Любая Г. а. однозначно определяет нек-рый точный нормальный полуконечный след на алгебре Неймана ; обратно, если дана алгебра Неймана и точный нормальный полуконечный след на , то можно построить Г. а. такую, что левая алгебра Неймана этой Г. а. изоморфна , и след, определяемый на Г. а., совпадает с исходным (см. [1]). Таким образом, Г. а. является средством изучения полуконечных алгебр Неймана и следов на них; нек-рое обобщение понятия Г. а. позволяет изучать аналогичными средствами не обязательно полуконечные алгебры Неймана (см. [2]). Лит.:[1] Dixmier J., Les algebres d'operateurs dans 1'espace hilbertien, 2 ed., P., 1969; [2] Тakesaki M., Tomita's theory of modular Hilbert algebras and its applications, В., 1970. А. И. Штерн.