Гильберта Неравенство

Теорема Гильберта о двойных рядах: где и ряды в правой части имеют конечные положительные суммы, причем константа — точная, т. е. не может быть уменьшена. Д. Гильберт (D. Hilbert) доказал (*) без точной константы в своих лекциях но интегральным уравнениям. Его доказательство было опубликовано Г. Вейлем [1]. Точная константа найдена И. Шуром [2], а неравенство (*) с произвольным впервые приводится в работах Г. Харди (G. Hardy) и М. Рисса (М. Riesz) в 1925. Имеются интегральные аналоги и обобщения неравенства (*), напр., неравенство где — неотрицательное ядро, однородное со степенью и и полученный ранее [4] частный случай этого неравенства с ядром (так наз. двупараметри-ческое Г. н.) и константой . Точность этой константы доказана при . Она является также асимптотически точной при и произвольном допустимом фиксированном q. Вопрос об асимптотике константы в (*) для конечных сумм не решен (1977); здесь известно только, что при константа равна Лит.:[l] Weyl H., Singulare Integralgleichungen mit besonderer Berucksichtigung des Fourielschen Integraltheorems, Inaugural Dissertation, Go'tt., 1908; [2] Sсhur I., "J. fur Math.", Bd 140, 1911, S. 1-28; [3] Xарди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г., Неравенства, пер. с англ., М., 1948; [4] Воnsаll F. P., "Quart. J. Math.", 1951, v. 2, p. 135-50; [5] Levin V., "J. London Math. Soc.", 1936, v. 11, p. 119-24; [6] Dе Вruijn N. G., Wilf H. S., "Bull. Amer. Math. Soc.", 1962, v. 68, p. 70-3; [7] Walker P. L., "Proc. Edinburgh Math. Soc.", 1973, v. 18, № 4, p. 293-94. Е. К. Годунова.