Геофизики Математические Задачи

Задачи, возникающие при анализе физич. явлений, изучаемых в связи с исследованиями строения Земли. В зависимости от природы изучаемых физич. явлений различают следующие виды геофизич. исследований: грави-разведку, основанную на изучении гравитационного поля; магниторазведку, основанную на изучении постоянного магнитного поля; сейсморазведку, основанную на изучении распространения упругих колебании; электроразведку, основанную на изучении электрич. поля постоянного тока или переменного электромагнитного поля; радиометрию, основанную на измерении интенсивности излучения естественной или вызванной радиоактивности горных пород. Измерение полей может производиться на поверхности Земли (наземные методы), в воздухе (аэроразведка) и в скважинах (каротаж скважин) (см. [1]). Математич. задачи, возникающие в гравиразведке и в магниторазведке, схожи. В обоих случаях прямая задача сводится к решению уравнения Пуассона: где — гравитационный пли магнитный потенциал, а — избыточная плотность или фиктивные магнитные заряды, определяемые через намагниченность горных пород. Измеряемой величиной является , определяющий или изменение ускорения силы тяжести , или изменение постоянного магнитного поля Земли. Измерения производятся в различных точках земной поверхности. По этим экспериментальным данным необходимо определить распределение в Земле функции . Прямая задача проста и решение выписывается в квадратурах. Основная трудность — в решении обратной задачи. Здесь широко применяются методы теории гармонич. полей и аналитич. родолжения (см. [2]). Несколько иной характер имеют задачи, возникающие в электроразведке на постоянном токе. Хотя поле в этом случае потенциально, т. е. электрич. поле выражается через электрич. потенциал , однако уравнение для потенциала имеет более сложный вид: где — плотность тока заданного источника, а — распределение удельной проводимости в Земле. Прямая задача заключается в определении на поверхности Земли электрич. поля для различных моделей строения среды [распределения ]. В обратной задаче необходимо но измеренному электрич. полю в различных точках земной поверхности найти распределение удельной проводимости . Еще более сложные задачи возникают в теории электроразведки для методов, использующих переменные электромагнитные поля. В этих методах измеряемой величиной являются компоненты переменного электромагнитного поля, расчет к-рых связан с решением уравнений Максвелла для неоднородных сред, т. е. когда коэффициенты уравнений являются кусочно непрерывными функциями. Обратная задача заключается в определении коэффициентов уравнений по известному электромагнитному нолю. Здесь возможно несколько различных вариантов измерений. Может измеряться нестационарное поле в одной точке в зависимости от времени (временное зондирование среды) или стационарное поле заданной частоты в Зависимости от изменения частоты (частотное зондирование), а также в зависимости от положения точки наблюдения (геометрия, зондирование) (см. [3]). В сейсморазведке полная постановка задачи заключается в решении уравнения распространения упругих колебаний с кусочно непрерывными коэффициентами при условии возбуждения точечным взрывом. Решения этой задачи проведены только для простейших моделей строения среды. Однако "связи с тем, что основной измеряемой величиной в сейсморазведке является время прихода отраженных сигналов, в теории ограничиваются приближением геометрич. оптики и решают уравнение эйконала для определения траектории луча и последующим вычислением времени прихода сигнала. Время запаздывания сигнала измеряется в различных точках земной поверхности. Обратная задача заключается в определении отражающей границы по известной зависимости времени прихода сигнала от координаты точки наблюдения (см. [4]). Основной целью всех геофизич. исследований является решение обратной задачи, т. е. определение строения среды по измеренным характеристикам поля. Параметры, определяющие строение среды, являются коэффициентами уравнения с частными производными или правыми частями этого уравнения, к-рому удовлетворяет поле. Задача отыскания коэффициентов уравнения или правой части уравнения по решению, известному только в нек-рой части пространства, является некорректно поставленной задачей. Поэтому при решении обратных задач геофизики необходимо применение метода регуляризации, развитого А. Н. Тихоновым (см. [5]). Основой регуляризации решения обратных задач геофизики является выбор достаточно узкого класса решений, в к-ром задача становится корректной. Этот выбор достигается построением семейства математич. моделей строения среды, к-рое с одной стороны достаточно полно описывает практич. ситуации, с другой стороны определяется небольшим числом параметров модели. В построении таких семейств математнч. моделей с учетом конкретных реализаций различных методов геофизич. исследований и в зависимости от целей, стоящих перед этими исследованиями, а также в разработке эффективных алгоритмов решения прямых задач для этих моделей и заключается основная математнч. проблема при решении обратных задач геофизики. Если семейство математнч. моделей построено и алгоритм решения прямой задачи известен, то общая формулировка обратной задачи будет следующей. Пусть — параметры модели, причем , где Р — множество допустимых значений параметров модели. Измеряемая на практике характеристика поля в зависимости от переменной хи параметров модели может быть рассчитана с помощью известного алгоритма прямой задачи: где — в общем случае нелинейный оператор, зависящий от неременной хкак от параметра. Если — экспериментально полученная характеристика поля, то решением обратной задачи будет на к-ром реализуется минимум отклонения от т. е. где — пространство характеристик поля. Обычно берут среднеквадратнч. норму (см. [6]). В геофизич. исследованиях основными являются два типа моделей строения среды: полупространство с локальными неоднородностями (используется при анализе результатов методов разведочной геофизики, направленных на обнаружение неоднородностей в земной коре, напр. в рудной геофизике); слоистое полупространство, когда параметры среды изменяются только по глубине (используется при решении структурных задач геофизики). Дальнейшее развитие математич. моделей в геофизике шло путем усложнения указанных двух типов с целью более полного описания практич. ситуаций. Напр., локальные неоднородности в слоистом полупространстве или слоистая среда с переменной толщиной слоев и т.