Гаусса Разложение

Топологической группыС- представление всюду плотного подмножества в виде где Н — абелева подгруппа группы — нильпотентные подгруппы группы G, нормализуемые Н. Если G — группа невырожденных вещественных матриц m-го порядка, Н — подгруппа диагональных матриц, N(соответственно ) — подгруппа нижне (верхне)-треугольных матриц с единицами на главной диагонали, — подмножество матриц из G, все главные миноры к-рых отличны от нуля, то разложение наз. разложением Гаусса полной линейной группы и непосредственно связано с Гаусса методом решения систем линейных уравнений: если где — невырожденная матрица коэффициентов системы линейных уравнений то приведение матрицы методом Гаусса к треугольному виду , можно осуществить умножением g0 слева на нижнетреугольную матрицу Строгое определение разложения Гаусса требует введения следующих терминов. Пусть G- топо-логич. группа, Н — ее подгруппа, — нильпотентные подгруппы в G, нормализуемые Н. Подгруппа Нназ. треугольным усечением группы, если а) где — коммутант группы — связные разрешимые подгруппы группы G;б) множество всюду плотно в G, и разложение однозначно. Разложение наз. треугольным разложением в G. Если Н — абелева группа, то это разложение наз. вполне треугольным разложением, или разложением Гаусса. В этом случае подгруппы разрешимы. Пусть — неприводимое (непрерывное) представление группы в конечномерном векторном пространстве — подпространство всех векторов из V, неподвижных относительно ; тогда инвариантно относительно Н, и представление группы в неприводимо. Представление определяет однозначно с точностью до эквивалентности. Представление содержится (как инвариантная часть) в представлении группы , индуцированном представлением , подгруппы Вв классе , где — продолжение на Водноименного представления группы H, тривиальное на N. При этом пространство одномерно. Если Н — абелева подгруппа, то одномерно и — характер группы Н. Известны следующие примеры треугольных разложений групп Ли. 1) Пусть G — редук-тивная связная комплексная группа Ли с картановской подалгеброй — редуктивная связная подгруппа в G, содержащая . Тогда подгруппа Нявляется треугольным усечением группы G.2) Пусть G — редуктивная связная линейная группа Ли; тогда группа G содержит треугольное усечение , где А — од-носвязная абелева подгруппа в G (порождаемая некомпактными корнями в алгебре Ли группы G), M — централизатор Ав максимальной компактной подгруппе . 3) В частности, всякая редуктивная связная комплексная группа Ли допускает Г. р. , где Н — картановская подгруппа в группе G; Nсоответственно — аналитич. одгруппа в G, алгебра Ли к-рой натянута на все корневые векторы (соответственно ), — корень относительно Н, т. е. и являются противоположными Бореля подгруппами. В примерах 1) — 3) подгруппы од-носвязны, открыто в G в топологии Зариского, а отображение является изоморфизмом алгебраич. многообразий (и, в частности, гомеоморфизмом). Этот факт позволяет доказать, что алгебраич. многообразие G рационально. Лит.:[1] Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1968. Д. П. Желобенко.