Гаусса Метод

Метод последовательного исключения неизвестных для нахождения решений системы линейных уравнений, впервые описанный К. Гауссом [1]. Пусть дана система где — элементы произвольного поля Р. Без ограничения общности можно считать, что . Г. м. состоит в следующем. Из второго уравнения системы вычитают первое ее уравнение, умноженное почленно на из третьего — первое, умноженное на из m-го — первое, умноженное на . Пусть — система полученных уравнений-разностей. При наличии ненулевого коэффициента в (после возможного изменения порядка уравнений и переменных) поступают с ней так же, как с системой , и т. д. Если ранг r системы (т. е. ранг матрицы ее коэффициентов) меньше числа т, то на r-м шага появляется система с нулевыми коэффициентами при всех неизвестных; при система считается пустой. Система тогда и только тогда совместна, когда система либо совместна (т. е. не имеет отличных от нуля свободных членов), либо пуста. Процесс получения одного из решений (совместной) системы может быть описан следующим образом. Берется к.-л. решение системы Придавая значения неизвестным в к.-л. уравнении системы , имеющем ненулевой коэффициент при (напр., в первом ее уравнении), находят из него и получают решение системы . Иначе говоря, значение получается из системы при замене в ней неизвестных взятыми их значениями. Значения подставляются затем в систему , находится значение и получают решение и т. д. Найденные так значения составляют вместе со взятыми значениями решение системы (см. [2]). Описанный метод допускает следующее обобщение (см. [4]). Пусть U- нек-рое подпространство векторного пространства и — множество всех решений уравнения где хпробегает U. Для произвольной конечной системы ненулевых образующих элементов пространства составляется система ( х — неизвестное), наз. U-сверткой системы Если пространство не содержит ненулевых элементов, то считается, что система имеет пустую U-cвертку. Если система совместна, то при любом Uее U-свертка совместна или пуста. Установлено, что для совместности системы достаточно, чтобы совместной или пустой была ее U-свертка хотя бы для одного U. Пусть, далее, — подпространства, порождаемые в пространстве векторами. e1=(1,0, ..., 0), e2=(0,1, ... , 0), ... , en=(0,0, ... ,1). Для уравнение (*) сводится к уравнению Пусть, напр., . Если при этом то в качестве ненулевых образующих элементов пространства можно взять векторы и тогда -свертывание системы совпадает с процедурой исключения неизвестного в Г. м. U-свертывание системы при есть процедура одновременного исключения двух неизвестных и . Пусть, напр., . Если при этом то для получения -свертки системы S0 можно взять строки матрицы где Чередуя исключения отдельных неизвестных с исключением тех или иных пар (или в общем случае наборов) неизвестных, можно для нахождения решений системы S0 строить те или иные алгоритмы, обобщающие Г. м. Лит.:[1] Gauss С. P., Beitrage zur Theorie der algebraischen Gleictumgen, Gott., 1849; И Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 1971; [3] Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд , М.-Л., 1963; [4] Черников С. Н., Линейные неравенства, М., 1968. . С. Н. Черников.