Гармоническое Пространство

Топология, пространство X с пучком непрерывных действительных функций с аксиоматически фиксируемыми в той или иной форме тремя основными свойствами классических гармонических функций:свойство сходимости, выражаемое второй Гарнака теоремой;принцип экстремума; разрешимость Дирихле задачи для достаточно широкого класса открытых множеств из X. Функции пучка получают наименование гармонич. функций; преимущество этого аксиоматич. подхода состоит в том, что с его помощью в теорию включаются решения не только Лапласа уравнения, но и нек-рых других уравнений эллиптич. и параболич. типов. Пусть X — локально компактное топологич. пространство. Под пучком функций на Xздесь понимается отображение определенное на семействе всех открытых множеств из и такое, что: 1) есть семейство функций на U; 2) если то сужение любой функции из (V).на Uпринадлежит ; 3) для любого семейства функция на принадлежит если для всех ее сужение на принадлежит Пучок функций наз. гипергармоническим, если для любого есть выпуклый конус полунепрерывных и конечных снизу действительных функций на . Пучок функций наз. гармоническим, если для любого есть действительное векторное пространство непрерывных функций на U;в дальнейшем используется только гармонич. пучок Локально компактное пространство Xназ. Т. Гипергармонич. функция ина Г. п. Xназ. супергармонической, если для любого относительно компактного разрешимого множества Vнаибольшая миноранта есть гармонич. функция. Положительная супергармонич. функция, для к-рой любая гармонич. миноранта тождественно равна нулю, наз. потенциалом. Г. п. Xназ. -гармоническим (или -гармоническим), если для любого существует положительная супергармонич. функция и(пли, соответственно, потенциал и).на Xтакая, что Любое Г. п. допускает покрытие такими открытыми множествами U, для к-рых выполняется принцип минимума в следующей форме: если гипергармоническая функция положительна вне пересечения Uс любым компактом из Xи для всех В случае -гармонич. пространства этот принцип минимума выполняется для всех открытых множеств. Евклидово пространство с пучком классич. решений уравнения Лапласа при образует -гармонич. пространство, а при оно образует -гармонич. пространство; пространство с пучком решений уравнения теплопроводности образует p-гармонич. пространство. Основными вопросами теории Г. п. являются: теория разрешимости задачи Дирихле, включающая исследование поведения обобщенного решения этой задачи в граничных точках; теория емкости множеств в Г. п.; изучение проблемы выметания (см. Выметания метод).и Робе на задачи. Лит.:[1] Вrе1оt M., Lectures on potential theory, Bombay, 1960; [2] Bauer H., Harmonische Raume imd ihre Potentialtheorie, В., 1966 (Lecture Notes in Mathematics, № 22); [3] Constantinescu C., Cornea A., Potential theory on harmonic spaces, В., 1972: [4] Брело М., О топологиях и границах в теории потенциала, пер. с англ., М., 1974. Е. Д. Соломенцев.