Гармоническая Мажоранта

Наименьшая гармоническая мажоранта семейства — нижняя огибающая семейства всех супергармонич. мажорант vk , семейства субгармонич. функций на открытом множестве Dевклидова пространства т. е. Г. м. либо является гармонич. функцией, либо В случае семейства, состоящего из одной функции и, субгармонической на более широком множестве иногда используется также понятие наилучшей Г. м. — решения обобщенной задачи Дирихле для Dпо значениям ина границе Всегда причем справедлива формула [1] где — ассоциированная с имера, — (обобщенная) функция Грина задачи Дирихле для D. Наилучшая н наименьшая Г. м. совпадают тогда и только тогда, когда множество всех иррегулярных точек Г имеет -меру нуль. Соответственно, если — семейство супергармонич. функций на D, то наибольшая гармоническая миноранта семейства определяется как верхняя огибающая семейства всех субгармонич. минорант семейства ; при этом есть наименьшая Г. м. для семейства . Другую постановку вопроса о Г. м., связанную с задачей Коши для уравнения Лапласа, см. в ст. Гармоническая функция. Лит.:[l] Frostman О., Potentiel d'equilibre et capacite des ensembles avec qvielques applications a la theorie des fonctions, Lund, 1935; [2] Брело М., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964, гл. 2, 9. Е.