Гармоническая Функция

Действительная функция заданная в области Dевклидова пространства имеющая в Dнепрерывные частные производные 1-го и 2-го порядков и являющаяся решением Лапласа уравнения где — декартовы прямоугольные координаты точки х. Иногда это определение распространяется и па комплексные функции в том смысле, что их действительные и мнимые части и являются Г. ф. Требования непрерывности и, даже, наличия производных не являются априори необходимыми. Напр., справедлива одна из теорем Привалова: непрерывная в Dфункция и(х).является Г. ф. тогда и только тогда, когда в любой точке для всех достаточно малых выполняется свойство среднего где — шар радиуса Rс центром — объем шара — элемент объема в . В случае неограниченной области D с компактной границей Г. ф. может быть доопределена в бесконечно удаленной точке , т. е. может быть доопределена в областях компактифицированного по Александрову пространства . Общий принцип такого доопределения состоит в том, чтобы при простейших преобразованиях, сохраняющих гармоничность (в случае инверсия, в случае — Кельвина преобразование).и переводящих конечную точку Г. Имеется тесная связь между Г. ф. двух переменных и аналитич. функциями комплексного переменного Действительная и мнимая части аналитич. функции являются, быть может, многозначными, сопряженными Г. ф., т. е. они связаны Коши — Римана условиями. Если в окрестности точки задана Г. ф. то простейшее решение задачи об отыскании аналитич. функции для к-рой дается формулой Гурса: где — произвольная действительная постоянная. К многозначным Г. ф. в областях Rn, , приводят и нек-рые пространственные задачи математич. физики. Важное значение Г.