Гамильтона Функция

Гамильтониан,- функция, введенная У. Гамильтоном (W. Hamilton, 1834) для описания движений механических систем; начиная с работ К. Якоби (К. Jacobi, 1837), используется в классическом вариационном исчислении для представления Эйлера уравнений в канонической форме. Пусть — Лагранжа функция механич. системы или подннтегральная функция в задаче минимизации функционала . классического вариационного исчисления, где . Г. ф. представляет собой Лежандра преобразование функции Lпо переменным иначе говоря, где выражено через рсоотношением скалярное произведение векторов и х. С помощью Г. ф. уравнения Эйлера (в задачах классич. механики называемые Лагранжа уравнениями).записываются в виде системы уравнений 1-го порядка: Эти уравнения наз. Гамильтона уравнениями, гамиль-тоновой системой, а также канонической системой. Через Г. ф. пишутся уравнения Гамильтона-Якоби для функции действия (см. Гамильтона — Якоби теория). Т. ф. в задаче оптимального управления определяется следующим образом. Пусть требуется найти минимум функционала при дифференциальных связях при заданных граничных условиях и ограничении на управление . Здесь есть n-мерный вектор фазовых координат, — m-мерный вектор управления, U — замкнутое множество допустимых значений управления и. Г. где — сопряженные переменные (множители Лагранжа, импульсы), аналогичные введенным выше канонич. переменным . Если есть минимум в поставленной задаче и (тогда можно считать равным -1), то где Полученное для Г. ф. выражение имеет ту же структуру, что и в классическом вариационном исчислении. Согласно Понтрягина принципу максимума уравнения Эйлера для задачи оптимального управления с помощью Г. ф. можно записать в виде Оптимальное управление ипри каждом tдолжно доставлять максимум Г. ф.: Лит.:[1] Блисс Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950: [2] Понтрягин Л. С. [и др.]. Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969. И. Б. Вапнярский.