Галуа Теория

В наиболее общем смысле теория, изучающая те или иные математич. объекты на основе их групп автоморфизмов. Так, напр., возможны Г. т. полей, колец, топологич. пространств и т. п. В более узком смысле под Г. т. понимается Г. т. полей. Возникла эта теория из задачи решения в радикалах алгебраич. уравнений высших степеней. Общеизвестная формула для решения квадратного уравнения была установлена в глубокой древности. Методы решения уравнении 3-й ( Кардана формула).и 4-й степеней (см. Феррари метод).найдены в 16 в. В течение трех последующих столетий велись безуспешные поиски формул для решения уравнений 5-й степени и выше. Наконец, в 1824 Н. Абель (N. Abel) доказал, что общее алгебраич. уравнение степени в радикалах не решается. После этого встал вопрос о необходимых и достаточных условиях, к-рым должны удовлетворять коэффициенты уравнения, чтобы оно решалось в радикалах, т. е. могло быть сведено к цепи двучленных уравнений вида Ответ на этот вопрос был найден Э. Галуа (Е. Galois); свои результаты он изложил в предсмертном письме (1832), опубликованном в 1846. В современном изложении Г. т. выглядит следующим образом. Пусть k — произвольное поле. Расширением поля kназ. любое поле К, содержащее kв качестве подполя. Каждое расширение можно рассматривать как линейное пространство над полем k;если это пространство имеет конечную размерность п, то расширение наз. конечным, а размерность п — степенью расширения. Элемент нек-рого расширения поля kназ. алгебраическим над k, если он является корнем уравнения f= 0, где f- многочлен с коэффициентами из k(этот многочлен можно считать неприводимым). Наименьшее расширение поля k, содержащее алгебраический над kэлемент , обозначается обычно . Конечное расширение Кполя kназ. сепарабельным, если причем многочлен f, корнем к-рого является , не имеет кратных корней. В случае, когда поле kимеет характеристику 0 (напр., если k — числовое поле), любое конечное расширение сепарабельно (теорема о примитивном элементе). Полем разложения неприводимого многочлена f наз. наименьшее расширение поля k, содержащее все корни этого многочлена. Степень такого расширения делится на степень многочлена f и равна этой степени, если все корни многочлена f выражаются через один из корней. Расширение Кназ. нормальным, если оно является полем разложения нек-рого многочлена, и расширением Галуа, если оно нормально и сепарабельно. Группа всех автоморфизмов расширения Галуа К, оставляющих на месте все элементы поля k, наз. группой Галуа этого расширения и обозначается Ее порядок (число элементов) равен степени расширения Кнад k. Каждой подгруппе H группы соответствует подполе Рполя К, состоящее из всех элементов К, не меняющихся под воздействием автоморфизмов из Н. Обратно, каждому подполю (содержащему поле k).соответствует подгруппа Нгруппы , состоящая из всех автоморфизмов, оставляющих на месте каждый элемент поля Р. При этом поле Кявляется расширением Галуа Ри .Основная теорема теории Галуа утверждает, что эти соответствия обратны друг к другу и, следовательно, являются взаимно однозначными соответствиями между всеми подгруппами группы и всеми подполями поля К, содержащими поле k. Таким образом, описание всех под-полей поля Ксводится к описанию всех подгрупп конечной группы , что является значительно более простой задачей. Важно, что при этом соответствии "хорошим" свойствам подполен отвечают определенные свойства подгрупп и обратно. Так, подгруппа Нбудет нормальным делителем группы тогда и только тогда, когда соответствующее ей поле Рявляется расширением Галуа поля k..При этом группа изоморфна . Любой возрастающей последовательности подполей поля Котвечает убывающая последовательность подгрупп группы , где . Последовательность (2) является нормальным рядом (т. е. каждая группа — нормальный делитель группы при ) тогда и только тогда, когда в последовательности (1) каждое поле есть расширение Галуа поля , и в этом случае . К задаче решения алгебраич. уравнений эти результаты применяются следующим образом. Пусть f- неприводимый многочлен без кратных корней над полем k, а К — его поле разложения (оно будет расширением Галуа поля k). Группа Галуа этого расширения наз. группой Галуа уравнения f=0. Решение уравнения f=0 тогда и только тогда сводится к решению цепи уравнений когда Ксодержится в поле , являющемся последним членом возрастающей последовательности полей где — поле разложения над полем , многочлена . Последнее условие равносильно тому, что группа является факторгруппой группы , обладающей нормальным рядом, факторы к-рого изоморфны группам Галуа уравнений . Пусть поле kсодержит все корни из единицы степени п. Тогда для любого полем разложения многочлена служит поле , где — одно из значений радикала Группа является в этом случае циклич. группой порядка n, и обратно, если группа является циклич. группой порядка и, то , где — корень нек-рого .двучленного уравнения Таким образом, если поле kсодержит корни из единицы всех необходимых степеней, то уравнение f=0 решается в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима (т. е. обладает нормальным рядом с циклич. факторами ). Найденное условие разрешимости в радикалах справедливо и в случае, когда поле kне содержит всех нужных корней из единицы, поскольку группа Галуа расширения , получающегося присоединением этих корней, всегда разрешима. Для практического применения условия разрешимости весьма важно, что группу Галуа уравнения можно вычислить, не решая этого уравнения. Идея вычисления следующая. Каждый автоморфизм поля разложения многочлена f индуцирует нек-рую перестановку его корней, причем этой перестановкой он вполне определяется. Поэтому группу Галуа уравнения в принципе можно трактовать как нек-рую подгруппу группы подстановок его корней (а именно, подгруппу, состоящую из подстановок, сохраняющих все алгебраич. зависимости между корнями). Зависимости между корнями многочлена дают нек-рые соотношения между его коэффициентами (в силу формул Виета); анализируя эти соотношения можно определить зависимости между корнями многочлена и тем самым вычислить группу Галуа уравнения. В общем случае группа Галуа алгебраич. уравнения может состоять из всех перестановок корней, т. е. являться симметрической группой n- йстепени. Поскольку при симметрическая группа неразрешима, то уравнение степени 5 и выше, вообще говоря, в радикалах не решается (теорема Абеля). Соображения Г. т. позволяют, в частности, описать полностью класс задач на построение, разрешимых с помощью циркуля и линейки. Методами аналитической геометрии показывается, что любая такая задача на построение сводится к нек-рому алгебраич. уравнению над полем рациональных чисел, причем она разрешима с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда соответствующее уравнение решается в квадратных радикалах. А для этого необходимо и достаточно, чтобы группа Галуа уравнения обладала нормальным рядом, факторы к-рого являются группами 2-го порядка, что имеет место тогда и только тогда, когда ее порядок является степенью двух. Итак, задача на построение, разрешимая с помощью циркуля и линейки, сводится к решению уравнения, поле разложения к-рого имеет над полем рациональных чисел степень вида 2 s;если степень уравнения не имеет вида 2 s, то такое построение невозможно. Так обстоит дело с задачей об удвоении куба (сводящейся к кубическому уравнению ) и с задачей о трисекции угла (также сводящейся к кубическому уравнению). Задача о построении правильного р-угольника сводится при простом рк уравнению обладающему тем свойством, что его поле разложения порождается любым из корней и поэтому имеет степень р -1, равную степени уравнения. В этом случае построение с помощью циркуля и линейки возможно, только если (напр., при р = 5 и р = 17 оно возможно, а при р = 7 и при р = 13 нет). Идеи Галуа оказали решающее влияние на развитие алгебры в течении почти целого столетия. Г. т. развивалась и обобщалась во многих направлениях. В.