Фурье Ряд

По ортогональным многочленам- ряд вида где многочлены ортонормированы на интервале ( а, b )с весом h(х)(см. Ортогональные многочлены),а коэффициенты вычисляются но формуле причем функция f(x) входит в класс функций L2=L2[a, b, h (х)], квадрат к-рых суммируем (интегрируем по Лебегу) с весовой функцией h(х)по интервалу ортогональности ( а, b). Как и у любого ортогонального ряда, частичные суммы ряда (1) приближают функцию f(x) наилучшим образом в метрике пространства L2 и выполняется условие Для доказательства сходимости ряда (1) в отдельной точке хили на нек-ром множестве из ( а, b )обычно применяется равенство где -коэффициенты Фурье вспомогательной функции при фиксированном х, а -коэффициент из формулы Кристоффеля-Дарбу. Если отрезок ортогональности [ а, b] конечен, и последовательность ограничена в данной точке х, то ряд (1) сходится к значению f(x). Коэффициенты (2) можно определять и для функции f(t)из класса L1 = L1 [a, b, h(t)],т. е. для функций, суммируемых с весом h(t)на интервале ( а, b). В случае конечного отрезка [ а, b]условие (3) имеет место, если а последовательность ограничена равномерно на всем отрезке [а, b]. При этих условиях ряд (1) сходится в нек-рой точке к значению f(x), если Пусть А- та часть интервала ( а, b), где последовательность ограничена равномерно, и Lp(A)=Lp[A, h(t)]-класс функций, суммируемых в степени рпо множеству Ас весом h(t). Если при фиксированном имеем и то ряд (1) сходится к f(x). Для рядов (1) имеет место принцип локализации условий сходимости: если две функции f(t)и g(t)из пространства L2 совпадают в интервале где то Ф. р. по ортогональным многочленам этих двух функций в точке хсходятся или расходятся одновременно. Аналогичное утверждение справедливо, если f(t)и g(t)входят в пространства L1 (А)и L2 (В), причем Для классических ортогональных многочленов имеют место теоремы о равносходимости ряда (1) с нек-рым ассоциированным тригонометрич. рядом Фурье (см. Равносходящиеся ряды). Равномерная сходимость ряда (1) на всем конечном отрезке ортогональности [ а, b|или на части его обычно исследуется с помощью неравенства Лебега гдe функция Лебега не зависит от функции f(x),a En(f)-наилучшее равномерное приближение непрерывной функции f(х)на отрезке [ а, b]многочленами степени не выше n. В зависимости от свойств весовой функции h(х)последовательность функций Лебега в разных точках отрезка [ а, b]может возрастать с различной скоростью. А для всего отрезка [ а, b]вводятся постоянные Лебега к-рые возрастают неограниченно при причем для различных систем ортогональных многочленов постоянные Лебега могут возрастать с различной скоростью. Из неравенства Лебега следует, что если выполняется условие то ряд (1) сходится к функции f(x) равномерно на всем отрезке [ а, b]. С другой стороны, скорость сходимости последовательности ( Е п(f)} к нулю зависит от дифференциальных свойств функции f(x). Поэтому во многих случаях нетрудно сформулировать достаточные условия, при к-рых правая часть неравенства Лебега стремится к нулю при (см., напр., Лежандра многочлены, Чебышева многочлены, Якоби многочлены). В общем случае произвольного веса конкретные результаты получаются, если для рассматриваемых ортогональных многочленов известны асимптотич. формулы или оценки. Лит.:[1] Сегё Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; [2] Геронимус Я. Л., Многочлены, ортогональные на окружности и на отрезке, М., 1958; [3] Суетин П. К., Классические ортогональные многочлены, 2 изд., М., 1979; см. также лит. при ст. Ортогональные многочлены. П. К. Суетин.