Фурье Метод

Метод разделения переменных,- метод отыскания частных решений дифференциальных уравнений где M(N) — линейные дифференциальные выражения, содержащие производные только но переменным х(у), с коэффициентами, также зависящими только от х(у). Функция будет решением уравнения (1), если существует такая константа что Напр., для уравнения колебаний струны и решение (2) принимает вид где с i, — произвольные постоянные и В полуполосе при с 1=0,2,. . ., решения (5) удовлетворяют краевому условию Составленный из этих функций ряд доставляет решение начально-краевой задачи (4), (6) и если а п и пb п являются коэффициентами Фурье от достаточно гладких начальных данных и Аналогичным образом можно получать решения начально-краевых задач для более общих классов уравнений (1), при этом роль теории рядов Фурье, связанных с разложением (7), играет спектральная теория линейных операторов. Ф. м. тесно связан со специальными функциями, к-рые являются решениями уравнений (3) при т=n=1 для частных случаев операторов Ми N, многие из этих функций первоначально возникли таким способом. Напр., при применении этого метода к уравнению Гельмгольца uxx+uyy+и = 0, записанного в полярных координатах в виде (1) с первое уравнение в (3) является уравнением Бесселя. Одно и то же дифференциальное уравнение имеет, вообще говоря, целое семейство систем координат, в к-рых оно допускает разделение переменных, т. е. приводится к виду (1). Задача разыскания таких систем координат тесно связана с групповыми свойствами дифференциальных уравнений. Применение методов теории групп Ли позволяет описать все решения с разделенными переменными многих классич. уравнений математич. физики (Лапласа, Гельмгольца, Шрёдингера, волнового уравнения и др.). На этом пути получается также целый ряд соотношений из теории специальных функций. Метод разделения переменных был предложен для решения волнового уравнения Ж. Д'Аламбером (J. D'Alembert, 1749), с достаточной полнотой метод был развит в нач. 19 в. Ж. Фурье (J. Fourier) и в полной общности сформулирован М. В. Остроградским в 1828. Лит.:[1] Бицадзе А. В., Уравнения математической физики, М., 1976; [2] Миллер У., Симметрия и разделение переменных, пер. с англ., М., 1981. А. П. Солдатов.