Функциональное Уравнение

Уравнение (линейное или нелинейное), в к-ром неизвестным является элемент какого-либо банахова пространства, конкретного (функционального) или абстрактного, т. е. уравнение вида где Р(х) — нек-рый, вообще говоря, нелинейный оператор, переводящий элементы пространства Xтипа . в элементы пространства Yтого же типа. Если Ф. у. содержит еще и числовой (или общий функциональный) параметр то вместо (1) пишут где — пространство параметров. Уравнениями вида (1) являются конкретные или абстрактные дифференциальные уравнения, обыкновенные и с частными производными, интегральные уравнения, интегро-дифференциальные уравнения, функционально-дифференциальные и более сложные уравнения математич. анализа, а также системы алгебраич. уравнений, конечные и бесконечные, уравнения в конечных разностях и др. В линейном случае рассматриваются Ф. у. 1-го рода Ах=у и 2-го рода где А — линейный oпeратор из Xв Y,a — параметр. При этом формально Ф. у. 2-го рода может быть записано в виде уравнения 1-го рода Однако выделение тождественного оператора I оказывается целесообразным, так как оператор Аможет обладать лучшими свойствами, чем оператор Т, что позволяет полнее исследовать рассматриваемое уравнение. Ф. у. рассматриваются также и в др. пространствах, напр. в пространствах, нормированных элементами полуупорядоченных пространств. Если решения Ф. у. являются элементами пространства операторов, то такие Ф. у. наз. операторными уравнениями (о. у.), конкретными или абстрактными. Здесь также могут быть алгебраич. о. у., линейные и нелинейные, дифференциальные, интегральные и другие о. у. Напр., пусть в нормированном кольце линейных операторов, переводящих пространство Xтипа Вв себя, рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение на бесконечном промежутке где А, — абстрактная функция со значениями в банаховом пространстве [X]. Это уравнение является простейшим абстрактным линейным дифференциальным о. у., оно получается, напр.. из применения прямого метода вариации параметра к построению операторов вида в частности проекторов Р(А)([Р(А)]2=Р (А))с единичной нормой. Проекторы вида Р(А), Р( АС )и Р( СА), применяются, напр., при построении прямым методом вариации параметра явных и неявных псевдообратных операторов и псевдорешений линейных Ф. у., а также собственных элементов (собственных подпространств) оператора А. Сведение различных задач к задачам для уравнения (2) и др. является весьма удобным при разработке приближенных методов решения. Интерес представляют также о. у. вида где — абстрактные функции со значениями из [X], и др. линейные и нелинейные о. у. В нек-рых задачах, связанных с дифференциальными и др- уравнениями, приходится исследовать линейные алгебраич. о. у. вида Ах+хВ=у и подобные им. Здесь х — искомый, а А, В, у — заданные линейные операторы, принимающие, быть может, и нулевые значения. Под Ф. у. в узком смысле этого слова понимают уравнения, в к-рых искомые функции связаны с известными функциями одного или нескольких переменных при помощи операции образования сложной функции. Напр., пусть i=l, 2, . . ., п,- заданные функции и Ci(x)=i(x, C1, С2, . .., С n), где -произвольные постоянные. Исключение С i из n+1 уравнения вида приводит к Ф. у. вида к-рое будет иметь решение Построение Ф. у. представляет собой прямую задачу функционального исчисления, аналогичную с определением производных высшего порядка в дифференциальном исчислении. Исключение С i из n+1 уравнения вида приводит к Ф. у. вида имеющему решение Иногда Ф. у. различаются по порядкам и классам. Под порядком уравнения подразумевается порядок искомой функции, входящей в уравнение, а под классом уравнения — число данных функций, к к-рым применяется неизвестная функция. Так, уравнение (3) является Ф. у. 1-го порядка и (п+1)-го класса. Уравнение (4) является Ф. у. (п+1)-го порядка и 1-го класса. Соотношения (3) и (4) являются тождествами относительно х, уравнениями их называют постольку, поскольку искомой является функция Y(x). Уравнения (3) и (4) являются Ф. у. с одним независимым переменным. Могут рассматриваться Ф. у. с несколькими независимыми переменными, Ф. у. дробных порядков и др., а также системы совместных Ф. у. При этом Ф. у. или системы Ф. у. могут содержать в себе большее число существенных, существенно различимых между собой переменных, чем искомая функция с максимальным числом переменных. К системам Ф. у. приходят, напр., при определении произвольных функций, входящих в интегралы уравнений с частными производными и удовлетворяющих условиям задачи. Если в интеграл входит ппроизвольных функций, то, подчиняя их пусловиям, получают псовместных Ф. у. Системы Ф. у. в нек-рых случаях удобно записываются в более краткой записи в виде векторного или матричного Ф. у. Ф. у. можно также рассматривать как выражение свойства, характеризующего тот или иной класс функций [напр., Ф. у. f(x)=f(-x)(f(-x)=-f(x)) характеризует класс четных (нечетных) функций; Ф. у. f(x+1)=f(x) — класс функций, имеющих период 1, и т. д.]. Одними из простейших Ф. у. являются, напр., уравнения Коши непрерывные решения к-рых имеют соответственно вид (в классе разрывных функций могут быть и др. решения): Ф. у. (5) могут служить средством для определения указанных функции при дополнительном требовании непрерывности. Рассматриваются также обобщенные Ф. у. Коши относительно трех и более неизвестных функций и др., а также Ф. у. в комплексной области. Ф. у. вида F(f(x), f(y), f(x+y)) =0и вида Ф(f(х), f(y), f(xy))=0носят название соответственно теорема сложения и теорема умножения функции f(t). Простейшими Ф. у., в к-рых искомая функция зависит от двух переменных, являются, напр., уравнения решения к-рых имеют соответственно вид где — произвольная функция. Лит.:[1]Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, 2 изд., М., 1977; [2] Рисc Ф., Сёкефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., 2 изд., М., 1979; [3] Давиденко Д. Ф., в кн.: Математическое программирование и смежные вопросы. Вычислительные методы, М., 1976, с. 187-212; [4] Канторович Л. В., лУспехи матем. наук