Функциональное Исчисление

Гомоморфизм нек-рой алгебры функций Ав алгебру L(X)непрерывных линейных операторов в топологич. векторном пространстве X. Ф. и.-один из основных инструментов общего спектрального анализа и теории банаховых алгебр, к-рый позволяет использовать в этих дисциплинах функционально-аналитич. методы. Обычно A-топологическая (в частности, нормированная) алгебра функций на нек-ром подмножестве Кпространства содержащая многочлены переменных z1, . .., zn (часто К — плотное подмножество), так что Ф. и. является естественным продолжением полиномиального исчисления коммутирующих операторов в этом случае говорят, что набор Т =(T1,.... Т п )допускает А- исчисление, и пишут А-исчисление для Т — это род спектральной теоремы, так как соответствие где -двойственность между Xи X*, определяет слабое операторно-значное А-распределение, перестановочное с Т. Классическое Ф. и. Неймана — Мурье — Данфорда ( А=С (К), X — рефлексивное пространство) приводит к операторной (проекторной) спектральной мере Ф. и. Рисса — Данфорда (n=1, -все функции, голоморфные на спектре оператора Т)приводит к формуле где -резольвента оператора,- контур, охватывающий вплоть до к-рого регулярна функция f. Формулы последнего типа для многих переменных (операторов) зависят от записи линейного функционала на и способа определения совместного спектра набора Т= (Т 1, ...,Т n )(от определения зависит и объем Ф. и.). Если Т — спектральный оператор, Sи N — его скалярная и квазинильпотентная части соответственно, а то формула где -разложение единицы Т, позволяет распространить Ф. п. Рисса-Данфорда для . на более широкий класс функций. В частности, если то Тдопускает Ф. и. на классе раз непрерывно дифференцируемых функций. Если Т — оператор скалярного типа, то в эту формулу можно подставить ограниченные борелевские функции на В частности, такое Ф. и. допускают нормальные операторы в гильбертовом пространстве. Верно и обратное: если оператор Тдопускает Ф. и. (для операторов в рефлексивных пространствах достаточно предполагать существование Ф. и. на классе непрерывных функций), то Т- спектральный оператор скалярного типа (в гильбертовом пространстве — линейно подобный нормальному оператору). Для операторов с достаточно медленным ростом резольвенты вблизи спектра построена [5] теория неаналитических -исчислений, опирающаяся на классы Карлемана и использующая формулу где — т. н. -продолжение функции f за пределы спектра т. о. финитная C1 -функция в С, для которой здесь а оператор Тудовлетворяет условию С другой стороны, более широкие (чем исчисления возникают как следствия оценок операторных многочленов р(Т); напр., если X — гильбертово пространство, то неравенство Неймана — Хайнца приводит к Ф. и. Сёкефальви-Надя-Фояша ( А- алгебра всех голоморфных и ограниченных в круге функций, Т — сжатие без унитарных частей), а оно — к многочисленным приложениям в теории функциональной модели для сжимающих операторов. Аналог неравенств Неймана — Хайнца для симметричных пространств функций порождает Ф. и. в терминах мультипликаторов (соответствующих сверточных пространств, [8]). Применения. Тип Ф. и., допускаемый оператором Т, является инвариантом относительно линейного подобия и успешно используется для классификации операторов. В частности, построена обширная теория т. н. А-скалярных операторов, применимая ко многим классам операторов, не укладывающихся в классическую спектральную теорию. Для успешного использования Ф. и. имеют значения т. н. теоремы об отображении спектра: для всех перечисленных выше Ф. и. такие теоремы доказаны (после надлежащего осмысления правой части формулы). Если алгебра Асодержит мелкие разбиения единицы (напр., то А- Ф.