Фукса Уравнение

Уравнение класса Фукса — линейное однородное обыкновенное дифференциальное уравнение в комплексной области с аналитич. оэффициентами, все особые точки к-рого на Римана сфере являются регулярными особыми точками. Для того чтобы уравнение (1) принадлежало классу Фукса, необходимо и достаточно, чтобы его коэффициенты имели вид где z1, ..., zk — различные точки, qj(z) — многочлен степени Система w'=A(z)wиз пуравнений принадлежит классу Фукса, если она имеет вид где z1, ..., zk — различные точки, — постоянные матрицы порядка Особыми для уравнения (1) и системы (2,) являются точки z1, ..., zk, оо (бесконечность). Для Ф. у. (1) справедливо тождество Фукса: где -характеристич. показатели в точке zm, а -в точке Ф. у. (и системы) наз. также регулярными уравнениями (системами). Этот класс уравнений и систем был введен Л. Фуксом [1]. Пусть D- сфера Римана с проколами в точках z1, ..., zk, Любое нетривиальное решение Ф. у. (1) (соответственно любая компонента решения системы (2)) есть аналитическая в области Dфункция. Как правило, эта функция бесконечнозначна, а все особые точки уравнения (1) (системы (2)) являются ее точками ветвления бесконечного порядка. Ф. у. 2-го порядка с особыми точками имеет вид где Qk-2 (z) — многочлен степени k-2. Преобразование переводит Ф. у. в Ф. у., причем а характеристич. показатели в остальных особых точках не меняются. С помощью таких преобразований уравнение (3) приводится к виду Ф. у. 2-го порядка, имеющее Nособых точек, полностью определяется заданием характеристич. показателей в этих точках тогда и только тогда, когда N<4. С помощью дробно-линейного преобразования уравнение приводится к виду: a) N=1,б) N=2, (Эйлера уравнение); в) N=3 — Папперица уравнение (или уравнение Римана). Матричное Ф. у. имеет вид где z1, ..., zk — различные точки, W- матрица-функция порядка -постоянные матрицы. Матрица U т наз. дифференциальной подстановкой в точке zm. Пусть — простая замкнутая кривая с началом в неособой точке b, положительно ориентированная и содержащая внутри себя только одну особую точку zm. Если W(z)- голоморфное в точке bрешение уравнения (4), то при аналитич. родолжении вдоль где V т — постоянная матрица, наз. интегральной подстановкой в z т. А. Пуанкаре (Н. Poincare, см. [2]) поставил для систем вида (4) задачу, к-рая наз. прямой регулярной задачей Пуанкаре. Она состоит из следующих трех задач: A) представление решения W(z)во всей области его существования; Б) построение интегральных подстановок в точках 2m; B) аналитич. характеристика особенностей решений. В частности, решение задачи Б) позволяет построить группу монодромии уравнения (4). Решение задачи Пуанкаре было получено И. А. Лаппо-Данилевскйм [3]. Пусть — гиперлогарифмы: W0(z) — элемент (росток) в точке Ь решения уравнения (4), нормированный условием W0(b)=I и W(z) — аналитическая в области . матрица-функция, порожденная этим элементом. Тогда W(z)есть целая функция от матриц U1 ,. . ., Uk и разлагается в ряд к-рый сходится равномерно по z на любом компакте Интегральная подстановка Vm в точке zm, отвечающая решению W(z), есть целая функция от матриц U1...., Uk и разлагается в ряд где Pj выражаются через гиперлогарифмы (см. [3], [6]). Получены также формулы, дающие решение задачи В) (см. [3]). Лит.:[1] Fuchs L., лJ. reine und angew. Math.