Фроммера Метод

Метод исследования особых точек автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка где функция f аналитическая или достаточно гладкая в области G. Пусть О=(0, 0) — особая точка системы (1), т. е. f(О)=0, а X, Y — аналитические в точке . функции, не имеющие общего аналитического исчезающего в Омножителя. Ф. м. позволяет выявить все ТО- кривые системы (1) — полутраектории, этой системы, примыкающие к Опо определенным направлениям. Каждая TО -кривая системы (1), не лежащая на оси x=0, является О- кривой уравнения (т. е. представима вблизи точки Ов виде где — решение уравнения (2), или или для любого и наоборот. Пусть уравнение (2) рассматривается сначала в области x>0. Если оно представляет собой простое уравнение Бендиксона, т. е. удовлетворяет условиям то для него в области x>0 существует единственная О-кривая при a<0; область x>0, x2+y2<r2, где r- достаточно малое положительное число, представляет собой параболич. сектор при а>0. В противном случае для выявления О-кривых уравнения (2) в области z>0 применяют Ф. м. Основой для его применения является тот факт, что каждая O-кривая (3) уравнения (2), обладает в точке Овполне определенной асимптотикой, а именно, будучи представлена в виде она допускает конечный или бесконечный предел к-рый наз. ее порядком кривизны в точке О, а при допускает еще и конечный или бесконечный предел к-рый наз. ее мерой кривизны в точке. О. При этом O-кривой у=0,приписывается порядок кривизны Первый шаг Ф. м. состоит в следующем. Алгебраич. средствами вычисляются все возможные порядки кривизны v (их всегда конечное число) и для каждого порядка — все возможные меры кривизны для О-кривых уравнения (2). На основании общих теорем метода выясняется вопрос о существовании у уравнения (2) О-кривых со всеми возможными порядками и мерами кривизны, за исключением конечного числа т. н. характеристическихпар Для каждой из последних v=r/s, где r, s — натуральные числа, Поэтому подстановка преобразует уравнение (2) в производное уравнение (21) того же вида, сводя вопрос о существовании у уравнения (2) О-кривых с порядком кривизны v и мерой кривизны к вопросу о существовании у уравнения (21) О-кривых в области x>0. Если уравнение (2) не имеет характеристич. пар или если каждое из его производных уравнений оказывается простым уравнением Бендиксона, то все О-кривые уравнения (2) в области x>0 выявляются на первом шаге процесса. В противном случае делают второй шаг — изучают по схеме первого шага производные уравнения, не являющиеся простыми уравнениями Бендиксона. При этом приходят к производным уравнениям 2-й серии и т. д. На каждом шаге процесс, вообще говоря, ветвится, однако для фиксированного уравнения (2) число ветвей процесса конечно и любая ветвь заканчивается приведенным уравнением, к-рое либо является простым уравнением Бендиксона, либо не имеет характеристич. дар. Таким образом, с помощью конечного числа шагов Ф. м. можно выявить все TО -кривые системы (1) в области x>0 вместе с их асимптотикой в точке О. Замена в системе (1) хна -хпозволяет сделать то же самое для области x<0, а непосредственная проверка позволяет установить, являются ли TО -кривыми полуоси оси х=0. Поведение всех траекторий системы (1) в окрестности точки О выясняется на основании этой информации следующим образом. Если система (1) не имеет TO -кривых, то точка О является для нее центром, фокусом или центро-фокусом. Если множество Нвсех TО -кривых системы (1) непусто, то информация об их асимптотике в точке О, полученная Ф. м., позволяет разбить Нна конечное число непересекающихся пучков ТO -кривых: Н 1, H2,...,Hk, каждый из к-рых либо открыт: состоит из одноименных (положительных или отрицательных) полутраекторий, заполняющих область, либо лзамкнут