Фредгольма Уравнение

Интегральное уравнение вида — Ф. у. 1-го род а, или вида — Ф. у. 2-го рода, если интегральный оператор является вполне непрерывным в нек-ром функциональном пространстве Е. Предполагается, что свободный член f и искомая функция принадлежат пространству Е. Важным примером Ф. у. является уравнение, в к-ром ядро Кудовлетворяет условию а Е=L2([ а, b]). Численный параметр и функции могут принимать как действительные, так и комплексные значения. О Ф. у. 1-го рода см. Интегральное уравнение с симметричным ядром и Некорректные задачи. Ниже рассматриваются лишь Ф. у. 2-го рода. Метод последовательных приближений решения Ф. у. 2-го рода. Это — первый метод, к-рый был предложен для решения уравнения (1). Для формулировки этого метода пусть уравнение (1) записано в виде Предполагается, что ядро Кудовлетворяет условию (3), a E=L2([a, b]).Пусть начальное приближение искомого решения если (п-1)-е приближение построено, то при этом где К т обозначает т- е итерированное ядро ядра К. Функция (5) является частичной суммой ряда к-рый наз. рядом Неймана (или рядом Лиувилля — Неймана). Если то ряд (6) сходится в среднем к решению уравнения (1), и это решение — единственное (см., напр., [5]). Если существует такая положительная постоянная А, что то ряд (6) сходится абсолютно и равномерно. Вообще говоря, ряд (6) расходится, если Именно, это так, если ядро Кимеет характеристич. число. Если же ядро не имеет характеристич. чисел (как, напр., в случае ядра Вольтерра), то ряд (6) сходится при любом значении Meтод Фредгольма решения Ф. у. 2-го рода. Метод последовательных приближений дает возможность построить решение уравнения (1), вообще говоря, лишь при малых значениях параметра Метод, дающий возможность решить уравнение (1) для любого значения параметра был впервые предложен Э. Фредгольмом (Е. Fredholm, 1903). В предположении, что ядро Кнепрерывно на квадрате [ а, b][а, b],а свободный член и искомое решение непрерывны на сегменте [ а, b],ниже кратко описана идея этого метода. Отрезок [ а, b]делится на правных частей длины h=(b-а)/п. Если заменить интеграл в (1) интегральной суммой, то точное уравнение (1) заменяется приближенным Полагая в (7) последовательно x = si, ..., sn для определения приближенного значения неизвестной функции в точках sj, получают линейную алгeбраич. систему где Разрешимость системы (8) зависит от значения определителя к-рый является многочленом относительно Если отличен от корней этого многочлена, то система (8) разрешима. Решив эту систему и подставив полученные значения в (7), получают приближенное решение уравнения (1) где Qи — многочлены относительно Приведенный путь является одним из возможных вариантов построения приближенного решения Ф. у. (1) (см. [6]). Можно ожидать, что в пределе, когда так, что интегральная сумма в (7) совпадает с интегралом в (1), предел правой части в (9) совпадает с точным решением уравнения (1). С помощью формальных переходов к пределам в соответствующих выражениях Э. Фредгольм установил формулу, к-рая должна представлять решение уравнения (1) где Для вычисления А т и В т ( х, s )вместо формул (14), (15) можно воспользоваться следующими рекуррентными соотношениями: Ряды (12) и (13) наз. рядами Фредгольма. Функцию наз. определителем Фредгольма ядра К, функцию — первым минором Фредгольма для а функцию (11) — резольвентой (или разрешающим ядром, или взаимным ядром) ядра К(пли уравнения (1)). Обоснование упомянутых выше предельных переходов, к-рые приводят к формуле (10), было сделано Д. Гильбертом (см. Интегральное уравнение). Э. Фредгольм, построив формально ряды (12), (13), затем непосредственно строго доказал, что они сходятся для всех конечных значений параметра а ряд (13), кроме того, сходится равномерно по хи s па квадрате [ а,b][ а, b]. Установление связи между функциями и позволило ему доказать следующее предложение: если то уравнение (1) имеет одно и только одно решение, к-рое выражается формулой (10). Из этого предложения вытекает, что значение параметра которое не является корнем определителя Фредгольма, есть регулярное значение для однородного уравнения, соответствующего уравнению (1): т. е. это уравнение в рассматриваемом случае имеет лишь нулевое решение. Если — корень уравнения то есть полюс резольвенты (11) уравнения (10) и характсристич. число этого последнего уравнения. Чтобы построить по методу Фредгольма собственные функции, принадлежащие этому характеристическому числу, вводится понятие р-го минора Пусть Тогда р-м минором для наз. ряд к-рый при р=1 обращается в Ряд (16) сходится абсолютно для всех конечных значений и равномерно относительно x1, ..., х р, s1, ..., s р, удовлетворяющих неравенствам k = 1, ..., р. Пусть теперь есть характеристич. число ядра К; так как D(0)=1. Пусть r- кратность корня уравнения Существует такое натуральное число что все миноры для порядок к-рых меньше q, тождественно равны нулю, а минор порядка qотличен от нуля. Существует нек-рая совокупность значений х'1...., x'q, s'1, ..., s'q таких, что Число qназ. рангом характеристич. числа Функции являются линейно независимыми решениями уравнения (10). Пусть характеристич. числу принадлежат собственные функции Эти функции наз. полной системой собственных функций уравнения (10) (или ядра К),принадлежащих числу если любая другая собственная функция, принадлежащая этому числу, есть линейная комбинация функций Если является характеристич. числом однородного уравнения (10) с рангом q, то оно будет также собственным значением с рангом . и для союзного с (10) уравнения причем полная система собственных функций уравнения (10) определяется формулами (17), а для уравнения (1'0) — аналогичными формулами, построенными для союзного ядра К(s, х). Если — характеристич. число ядра Кс рангом q, то уравнение (1) имеет решение тогда и только тогда, когда удовлетворяются условия: где составляют полную систему собственных функций уравнения (10). Если условия (18) выполняются, то все решения уравнения (1) определяются формулой где c1, . . ., cq — произвольные постоянные, — полная система собственных функций однородного уравнения (10), а функция Нопределяется равенством Непрерывное ядро Кимеет не более счетного множества характеристич. чисел, к-рые могут иметь предельную точку только при Сформулированные выше предложения для уравнения (1) называются Фредгольма теоремами. Эти теоремы Э. Фредгольм распространил на случай системы таких же уравнений, а также на случай одного класса ядер со слабой особенностью (см. Интегральный оператор). Из сопоставления теорем Фредгольма вытекает Фредгольма альтернатива. Часто в теоремах Фредгольма вместо союзного уравнения (1'0) рассматривают сопряженное с (1) уравнение В этом случае условия (18) заменяются условиями Изложенный выше метод Фрeдгольма был обобщен Т. Карлеманом [9] (см. также [7], [11]) на случай, когда в уравнении (1) предполагаются интегрируемыми с квадратом функциями. И этих предположениях справедливы сформулированные выше результаты Фредгольма. Кроме метода последовательных приближении и метода Фредгольма для решения Ф. у., Э. Шмидт (Е. Smidt) под влиянием исследовании Д. Гильберта разработал метод, основой к-рого является построение, независимо от теории Фредгольма, теории уравнения (1) с симметричным действительным ядром. Исследования Д. Гильберта и Э. Шмидта подготовили почву для абстрактного изложения теории Фредгольма. Д. Гильберт обратил внимание на то, что теория Фредгольма в основном опирается на свойство т. н. полной непрерывности интегрального преобразования с ядром K. Это свойство Д. Гильберт сформулировал для билинейных форм. Ф. Рисc (см. [8]) показал, что основные результаты теории Фредгольма остаются в силе, если в уравнении (1) интегральный оператор заменить произвольным вполне непрерывным оператором, действующим в полном функциональном пространстве. Исследования Ф. Рисса были пополнены Ю. Шаудером (см. 110]) с помощью введения понятия сопряженного оператора в банаховом пространстве, что и дало возможность окончательной абстрактной формулировки в пространствах Банаха аналогов теорем Фредгольма. Эти теоремы часто наз. теоремами Рисса — Шаудера. Оператор V, участвующий в нижеприведенных формулировках этих теорем, предполагается действующим в банаховом пространстве Е; через Е* обозначено банахово пространство, сопряженное с Е, ачерез V* — сопряженный оператор. Теорема 1. Однородное уравнение и сопряженное с ним уравнение имеют лишь нулевые решения или одинаковое конечное число линейно независимых решений Теорема 2. Для разрешимости неоднородного уравнения необходимо и достаточно, чтобы k=1,2, ..., q;если эти условия выполнены и -какое-либо решение уравнения (21), то его общее решение имеет вид где с k — произвольные постоянные. Теорема 3. Каково бы ни было круг содержит разве лишь конечное число характеристических значений оператора V, т. е. значений для к-рых уравнение имеет отличные от нуля решения. Эти теоремы дают возможность обосновать справедливость теорем Фредгольма для уравнения (1) в случае различных конкретных классов интегрального оператора (2). Напр., если заданные и искомая функции интегрируемы с квадратом. В качестве области интегрирования вместо отрезка [a, b]в уравнении (1) можно рассматривать нек-рое ограниченное или неограниченное измеримое множество Dв пространстве любого числа измерений. Вместо обычного интеграла можно брать интеграл Стилтьеса относительно неотрицательной меры. Лит.:[1] Смирнов В. И., Курс высшей математики, 6 изд., т. 4, ч. 1, М., 1974; [2] Гуpса Э., Курс математического анализа, т. 3, ч. 2, пер. с франц., М.-Л., 1934: [3] Петровcкий И. Г., Лекции по теории интегральных уравнений, 3 изд., М., 1965; [4] Ловитт У., Линейные интегральные уравнения, пер. с англ., М., 1057; [5] Михлин С. Г., Лекции по линейным интегральным уравнениям, М., 1959; [6] Канторович Л. В., Крылов В. И., Приближенные методы высшего анализа, 5 изд., М.-Л.. 1962; [7] Михлин С. Г., лДокл., АН СССР