Франклина Система

Одна из классических ортонормированных систем непрерывных функций. Ф. с. (см. [1] или [2]) получается применением процесса ортогонализации Шмидта на отрезке [0, 1] к Фабера — Шаудера системе, построенной с помощью множества всех двоично рациональных точек отрезка [0,1]; в этом случае система Фанера — Шаудера с точностью до постоянных множителей совпадает с системой , где -Хаара система. Ф. с. является исторически первым примером базиса в пространстве непрерывных функций, обладающего свойством ортогональности. Эта система также является базисом во всех пространствах Lp[0, 1], (см. [3]). Если непрерывная на отрезке [0,1] функция f(t) имеет модуль непрерывности a Sn(t, f) — частная сумма порядка пряда Фурье функции f(t) по системе Франклина, то При этом коэффициенты Фурье — Франклина а п(f) функции f(t) удовлетворяют неравенствам a условия: при являются равносильными. Если непрерывная функция f(t) такова, что то ряд сходится на отрезке [0, 1] равномерно, а если то Все эти свойства Ф. с. доказываются с помощью неравенства Ф. с. является безусловным базисом во всех пространствах и, более того, во всех рефлексивных пространствах Орлича (см. [5]). Если функция f(t)принадлежит пространству Lp[0, 1], то имеют место неравенства где обозначает норму в пространстве Lp[0, 1], а постоянные А р> 0 и В р>0 зависят лишь от р. Ф. с. нашла важные приложения в различных вопросах анализа. В частности, с помощью этой системы были построены базисы в пространствах С 1 (I2) (см. [4]) и A(D)(см. [5]). Здесь С 1(I2) — пространство всех непрерывно дифференцируемых на квадрате функций f(x, f )с нормой a A(D) — пространство всех функции f(z) с нормой аналитических в открытом круге D = комплексной плоскости и непрерывных в замкнутом круге Вопросы о существовании базисов в пространствах С 1(I2) и A(D)были поставлены С. Банахом [6]. Лит.:[l] Franklin P., лMath. Ann.