Фрагмена — Линделёфа Теорема

Обобщение максимума модуля принципа аналитич. функций на случай функций, априори заданных как неограниченные; впервые в простейшей форме дано Э. Фрагмеyом и Э. Линделёфом [1]. Пусть f(z) — регулярная аналитич. ция комплексного переменного zв области Dна плоскости С с границей Г. Говорят, что f(z) не превосходит но модулю числа Мв граничной точке если т. е. если для любого найдется круг (зависящий от и с центром такой, что при Основное содержание результатов Э. Фрагмена и Э. Линделёфа, в несколько модернизированной форме, заключается в следующих двух положениях, последовательно расширяющих принцип максимума модуля. I. Если регулярная аналитич. ция f(z) всюду на границе Г не превосходит по модулю числа M, то всюду в области D. Это положение иногда называют принципом Фрагмена — Линделeфа. Оно расширяет принцип максимума модуля на функции, о граничном поведении к-рых имеется лишь частичная информация. II. Пусть регулярная аналитич. ция f(z) не превосходит по модулю числа Мво всех точках границы Г, не принадлежащих нек-рому множеству Пусть, кроме того, существует функция со следующими свойствами: 1) регулярна в D,2) в D,3) в D,4) для любого функция не превосходит числа Мв каждой точке При этих условиях всюду в D. Ф.- Л. т. получила многочисленные применения, также часто именуемые теоремами Фрагмена — Линделёфа и связанные с конкретным видом области D, множества Еифункции (см. [1] — [4], в частности обобщения Ф.- Л. т. в [4]). Чаще всего в приложениях множество Есостоит из одной точки Напр., пусть функция f(z) регулярна в угловой области и на сторонах угла не превосходит по модулю числа М. Тогда имеет место альтернатива:либо всюду в D, либо максимум модуля растет быстрее при чем ехр (rk) при любом k, Эта теорема получается из положений I и II при где Формулировки I и II остаются в силе для голоморфной функции f(z), z=(z1, ..., zn), заданной в области Dкомплексного пространства Многие работы посвящены получению результатов типа Ф.-Л. т. для решений дифференциальных уравнений с частными производными и систем уравнений эллиптпч. типа. Положения I и II остаются верными для субгармонической функции и (Р), определенной в области Dевклидова пространства или при условии, что в них | f(z) | заменяется на и(Р), а функция предполагается логарифмически-субгармонической в D(см. [5], [6]). Напр., пусть и(z)-субгармоническая функция в угловой области (*) и на сторонах угла не превосходит числа М. Тогда имеет место альтернатива: либо всюду в D, либо максимум растет быстрее, чем rk при любом k, Аналогичные результаты имеются и для решений других эллиптич. уравнении. Их можно назвать лслабыми