Форма

I

Фо́рма (лат. forma – форма, вид, образ)

1) очертания, внешний вид, контуры предмета. 2) Внешнее выражение какого-либо содержания (см. Содержание и форма). 3) Приспособление для придания чему-либо определённых очертаний (например, литейная Ф.). 4) Единая по цвету, покрою и др. признакам одежда [например, Ф. военнослужащих (см. Обмундирование военное), учащихся и др.]. См. также статьи Форма (математическая), Форма (биологическая), Музыкальная форма, Форма слова.

II

Фо́рма (математическая)

многочлен от нескольких переменных, все члены которого имеют одну и ту же степень (под степенью одночлена хαуβ... zγ понимают число α + β +... + γ). Теория Ф. находит применение в алгебраической геометрии, теории чисел, дифференциальной геометрии, механике и др. областях математики и её приложений.

В зависимости от числа m переменных Ф. называют бинарными (при m = 2), тернарными (при m = 3) и т.д., в зависимости от степени n их членов – линейными (при n = 1), квадратичными (при n = 2), кубичными (при n = 3) и т.д. Например, ху + 2y2 + z2 является тернарной квадратичной Ф. Если переменные можно разбить на группы так, чтобы каждый член Ф. линейно зависел от переменных каждой группы, то Ф. называется полилинейной. Примером полилинейной Ф. является определитель, рассматриваемый как функция своих элементов (группы, на которые разбиваются в этом случае элементы, представляют собой совокупности элементов, расположенные в одинаковых строках или столбцах). Любая Ф. может быть получена из полилинейной Ф. путём отождествления некоторых переменных. Обратно – из каждой Ф. можно путём некоторого процесса, называемого процессом поляризации, получить полилинейную Ф. Например, Ф. x2 + 2x1, x2 + x2 соответствует полилинейная Ф.: x1y1 + x1y2 + y1x2 + x2y2, которая в результате отождествления y1 с x1 и y2 c x2 превращается в данную Ф.: x12 + 2x1x2 + x22.

Уравнение любой алгебраической кривой на плоскости может быть записано в однородных координатах (См. Однородные координаты) в виде f (x1, x2, x3) = 0, где f – некоторая тернарная Ф. Аналогично можно дать геометрическое истолкование Ф. большего числа переменных. Геометрические свойства кривых поверхностей и т.д., не зависящие от выбора системы координат, выражаются при помощи инвариантов (См. Инварианты) Ф. Теория инвариантов является одним из основных разделов алгебраической теории Ф., находящим применение не только в алгебраической геометрии, но и в ряде др. разделов математики и её приложений.

Наиболее важными для приложений являются квадратичные формы (См. Квадратичная форма). Например, квадрат длины вектора выражается в виде квадратичной Ф. от его координат. Если механическая система при движении остаётся близкой к положению равновесия, то её кинетическая и потенциальная энергия (если они не зависят явно от времени) выражаются, соответственно, квадратичными Ф. вида:

и .

Изучение колебаний таких систем основано на теории квадратичных Ф., в частности на приведении этих Ф. к сумме квадратов. Теория квадратичных Ф. тесно связана с теорией кривых и поверхностей второго порядка (см. также Эрмитова форма).

В теории чисел весьма важным является вопрос о представимости целых чисел как значений Ф. с целочисленными коэффициентами при целочисленных значениях переменных. Например, любое натуральное число представимо в виде x2 + y2 + z2 + t2 (теорема Лагранжа). Изучение вопроса о представимости целых чисел в виде ax2 + 2bxy + су2; где а, b, с, х и у – целые числа, было проведено Ж. Лагранжем и К. Гауссом. Этот вопрос тесно связан с теорией алгебраических чисел. А. Туэ доказал, что уравнения вида f (х, у) = m, где степень формы f больше двух, имеют конечное число целочисленных решений (см. Диофантовы уравнения).

В дифференциальной геометрии (См. Дифференциальная геометрия) и римановой геометрии (См. Риманова геометрия) используются дифференциальные Ф., т. е. многочлены от дифференциалов переменных, каждый член которых имеет относительно дифференциалов одну и ту же степень. Коэффициенты дифференциальных Ф. могут произвольно зависеть от самих переменных. Рассматриваются и полилинейные дифференциальные Ф. Примерами дифференциальных Ф. являются первая и вторая квадратичные Ф. поверхностей теории (См. Поверхностей теория). Важную роль в дифференциальной геометрии играют целые рациональные функции от коэффициентов квадратичных Ф. и их производных, не изменяющиеся при любых дифференцируемых невырождающихся преобразованиях переменных (дифференциальные инварианты). Например, полная, или гауссова, кривизна поверхности является дифференциальным инвариантом первой квадратичной Ф. Исследования по теории дифференциальных инвариантов сыграли важную роль в возникновении тензорного исчисления. Теория дифференциальных инвариантов находит большое применение в физике, позволяя давать инвариантные (не зависящие от выбора системы координат) формулировки физическим законам.

Многие теоремы интегрального исчисления (см. Грина формулы, Остроградского формула, Стокса формула) могут рассматриваться как теоремы о связи дифференциальных Ф. различной степени. Обобщая эти соотношения, Э. Картан построил теорию внешнего дифференцирования Ф., играющую важную роль в современной математике.

Лит.: Веблен О., Инварианты дифференциальных квадратичных форм, пер. с англ., М., 1948; Гуревич Г. Б., Основы теории алгебраических инвариантов, М. – Л.. 1948; Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 3 изд., М., 1967; Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972.

III

Фо́рма

в логике, форма логическая, та сторона рассуждения (доказательства, вывода, аргументации и т.п.), которая не зависит от содержания данного рассуждения. Логическая форма в языке фиксируется посредством логических констант и образуемых с их помощью отдельных фраз и их сочетаний – схем рассуждения (форм вывода, выражающих связь посылок и заключения), в которых может воплощаться разное содержание. Именно к логическим формам относятся устанавливаемые в (формальной, математической) логике логические законы (См. Логический закон) и правила логических перехода (см. Правило вывода), а также многие исследуемые в ней проблемы (в частности, проблема уточнения понятия логического следования).

IV

Фо́рма

см. Содержание и форма.

V

Фо́рма (forma)

одна из инфраподвидовых категорий (См. Инфраподвидовые категории) в систематике растений и животных. Ботаниками употребляется обычно для обозначения категории по рангу ниже, чем Разновидность; зоологами – как синоним термина Вариетет. Иногда термин «Ф.» применяют в том же значении, что и термин Таксон, т. е. для обозначения систематической единицы любого ранга. В биологической литературе термин «Ф.» широко используется не только в строго таксономическом значении, но и для того, чтобы отметить различные особенности, связанные с циклом развития, характером существования, динамикой и становлением вида (например, полнокрылые и короткокрылые Ф. у насекомых, сезонные Ф. у растений, экологические, архаичные, прогрессивные, специализированные и многие другие формы у всех живых организмов).