Финитная Функция

Функция, определенная в нек-рой области пространства Е n и имеющая принадлежащий к этой области компактный носитель. Точнее, пусть функция f(х)= f(x1,..., х п )определена на области Носителем f наз. замыкание множества точек х для к-рых f(х)отлично от нуля Таким образом, можно еще сказать, что Ф. ф. в есть такая определенная на функция, что ее носитель L есть замкнутое ограниченное множество, отстоящее от границы Г области на расстоянии большем, чем где достаточно мало. Обычно рассматривают непрерывно дифференцируемые kраз Ф. ф., где k — заданное натуральное число. Еще чаще рассматривают бесконечно дифференцируемые Ф. ф. Функция может служить примером бесконечно дифференцируемой Ф. ф. в области содержащей в себе шар Множество всех бесконечно дифференцируемых Ф. ф. в области обозначают D. Над Dопределяют линейные функционалы ( обобщенные функции). При помощи функций определяют обобщенные решения краевых задач. В теоремах, посвященных задачам на нахождение обобщенных решений, часто важно знать, является ли пространство Dплотным в нек-ром конкретно заданном пространстве функций. Известно, напр., что если граница Г ограниченной области достаточно гладкая, то Dплотно в пространстве функций т. е. в пространстве функций класса Соболева, равных нулю на Г вместе со своими нормальными производными до порядка r — 1 включительно (r=1,2,...). Лит.:[1] Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, 2 изд., М., 1979; [2] Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосиб., 1962. С. М. Никольский.