Финитизм

Идущая от Д. Гильберта (D. Hilbert) методологич. точка зрения на то, какие объекты и способы рассуждений в математике следует считать абсолютно надежными. Основные требования Ф. таковы: 1) объекты рассуждений — конструктивные объекты, напр. цифровые записи натуральных чисел, формулы в символич. языке и их конечные совокупности; 2) применяемые операции однозначно определены и принципиально выполнимы (вычислимы); 3) никогда не рассматривается множество всех предметов хкакой-либо бесконечной совокупности; всеобщее суждение (х)есть высказывание о произвольном объекте х, к-рое подтверждается в каждом конкретном случае; 4) утверждение о существовании объекта х, обладающего свойством (х), означает либо предъявление конкретного такого объекта, либо указание способа его построения. Ограничения Ф. на логику близки к интуиционистским, хотя в целом финитная точка зрения является более жесткой. Рассуждение, удовлетворяющее требованиям 1) — 4), не выводит за рамки интуиционистской арифметики (см. Интуиционизм). После проведения формализации (см. Аксиоматический метод )содержательные математич. теории становятся конструктивными объектами (совокупностями конструктивных объектов). В рамках подхода Д. Гильберта и его последователей Ф. нужен для изучения таких формализованных теорий; надежно установленными считаются только те свойства теорий, к-рые доказаны финитными методами. Гёделя теорема о неполноте показала принципиальную недостаточность финитных средств для подобного обоснования математики. Это привело к необходимости расширить применяемые в теории доказательств средства за рамки Ф. Лит.:[1] Клини С.