Фильтрованная Алгебра

Алгебра S, в к-рой выделены подпространства индексированные элементами линейно упорядоченной группы А(чаще всего А — аддитивная группа целых чисел ). таким образом, что при и (возрастающая фильтрация). Иногда рассматривают случай, когда при (убывающая фильтрация), но он сводится к предыдущему путем обращения порядка в группе Л. С каждой Ф. a. Sассоциируется градуированная алгебра где (если то ), а произведение элементов и определяется по формуле где х, у — представители смежных классов а -смежный класс по порожденный элементом Если в алгебре Sвыполняется какое-либо полилинейное тождество (напр., коммутативность, ассоциативность или тождество Якоби), то и алгебре gr Sтакже выполняется это тождество. Примеры. 1) Пусть S — Клиффорда алгебра и -совокупность элементов, предстаиимых п виде (некоммутативных) многочленов степени от образующих. Получается возрастающая Z-фильтрация алгебры S, в к-рой Sn- 0 при п <0. Ассоциированной градуированной алгеброй будет внешняя алгебра с тем же числом образующих. 2) В универсальной, обертывающей алгебре алгебры Ли так же, как в предыдущем примере, определяется возрастающая Z-фильтрация. Согласно Биркгифа — Витта теореме, ассоциированная градуированная алгебра есть алгебра многочленов. Э. В. Винберг