Ферми — Дирака Статистика

Статистика Ферми,- квантовая статистика, применимая к системам тождественных частиц с полуцелым спином (1/2,3/2, 5/2, ... в единицах эрг х сек). Предложена Э. Ферми (Е. Fermi, 1926), ее квантово-механич. смысл выяснен П. Дираком (P. Dirac, 1926). Согласно Ф.- Д. с. в каждом квантовом состоянии может находиться не более одной частицы (принцип Паули). Для системы частиц, подчиняющихся Ф.- Д. с., квантовомеханич. состояния описываются волновыми функциями, антисимметричными относительно перестановок частиц (т. е. их координат и спинов), а для Бозе — Эйнштейна статистики она симметрична. Квантовое состояние идеального газа определяется заданием совокупности чисел заполнения уровней системы в пространстве импульсов р и спинов где каждое указывает число частице импульсом р п спином В случае Ф.-Д. с. может быть равным нулю или единице. Газ является системой из очень большого числа частиц, поэтому его квантовые уровни расположены очень плотно и стремятся к непрерывному спектру при стремлении объема к бесконечности. Уровни энергии удобно сгруппировать по малым ячейкам, содержащим G;уровней в ячейке. Каждой ячейке соответствует средняя энергия ei, а число Gi предполагается очень большим. Квантовомеханич. состояние системы определяется набором ,где Ni — число частиц в ячейке, т. е. сумма по уровням ячейки. Число различных распределений частиц по ячейкам (т. е. статистич. вес состояния идеального газа Ферми — Дирака) равно и определяет вероятность распределения частиц по ячейкам, к-рые характеризуются числами заполнения N1, N2, . . . Статистич. вес вычислен с помощью комбинаторного анализа с учетом неразличимости частиц и того, что в каждом состоянии не может быть более одной частицы. Наиболее вероятное распределение частиц по квантовым состояниям, соответствующее заданной энергии Еи числу частиц N находится из экстремума статистич. веса (1) при дополнительных условиях (2). Соответствующие средние числа заполнения равны где — химич. потенциал, k — постоянная Больцмана (универсальная постоянная k -1,38 x 10-16 эрг/град), Т — абсолютная температура. Величины и m находятся из условий (2). Энтропия идеального газа Ферми определяется логарифмом статистич. веса (1) для наиболее вероятного распределения (3) где суммирование ведется по всем ячейкам. С помощью энтропии можно вычислить свободную энергию и другие термодинамич. функции. В случае неидеального газа Ферми вычисление термодинамич. функций является сложной проблемой и не сводится к простой задаче комбинаторного анализа. Их вычисление основано на методе Гиббса с учетом Ф.- Д. с. Если известен оператор Гамильтона Я системы, то свободная энергия равна где операция шпура берется по состояниям, удовлетворяющим требованиям Ф.- Д. с., т. е. по антисимметрическим волновым функциям. Этого можно достигнуть, если для H использовать представление, в к-ром его действие определено в пространстве волновых функций и чисел заполнения, т. е. перейти к представлению вторичного квантования. Лит. см. при ст. Бозе- Эйнштейна статистика. Д. Н. Зубарев.