Фабера — Шаудера Система

Система функций , построенная на отрезке [ а, b] с помощью любой счетной всюду плотной на этом отрезке последовательности точек следующим образом. Полагают на [ а, b]. Функция линейна на отрезке [a, b]и такая, что Если же п>2,то отрезок [ а, b]делится на п-2 части точками w1, w2, ..., wn-1 и выбирается отрезок [w1, wk], w1 <wk,содержащий точку wn. Затем полагают и продолжают функцию линейно на отрезки [wi, wn] и [wn, wk]. Вне интервала (wi, wk) функцию полагают равной нулю. В случае когда а = 0, b = 1, a — последовательность всех двоично рациональных точек отрезка [0, 1], занумерованных естественным образом (т. е. в порядке система (ее обозначение )впервые встречается в работе Г. Фабера [1]. Он рассматривал ее (с другой нормировкой) как систему неопределенных интегралов от Хаара системы., дополненную функцией, тождественно равной единице. В общем случае построение системы осуществлено Ю, Шаудером [2], поэтому Ф.-Ш. с. наз. также системой Шаудера. Система является базисом в пространстве С[ а, b]всех непрерывных на отрезке [ а, b]функций f(t) с нормой (см. [1], [2] или [3]). Если к системе Фабера применить процесс ортогонализации Шмидта на отрезке [0, 1], то получится Франклина система. Ф.- Ш. с. — первый пример базиса в пространстве непрерывных функций. Лит.:[1] Faher G, лJahresber. Dtsch Math.-Ver.