Фабера Многочлены

Классическая базисная система, служащая для представления аналитич. ций в комплексной области. Пусть дополнение ограниченного континуума К, содержащего более одной точки, есть односвязная область Dкомплексной плоскости С, а функция отображает конформно и однолистно область Dна область |w|>1 при условиях и Тогда Ф. м. можно определить как суммы членов с неотрицательными степенями z в разложениях Лорана функций в окрестности точки Ф. м. для континуума Кможно определить так же, как коэффициенты разложения где функция — обратная функции Если континуум К — круг то Ф п(z)=zn. А в случае когда К — отрезок [-1, 1,], Ф. м. суть Чебышева многочлены1-го рода. Эти многочлены были введены Г. Фабером [1]. Если континуум Кесть замыкание односвязной области G, ограниченной спрямляемой жордановой кривой Г, а функция f(z) — аналитическая в области G, непрерывная в замкнутой области и имеющая ограниченную вариацию на Г, то в области Gэта функция разлагается вряд Фабера сходящийся равномерно внутри области G, т. е. на всяком замкнутом подмножестве области G, причем коэффициенты разложения определяются по формуле Ряд Фабера (2) сходится равномерно в замкнутой области если, напр., кривая Г имеет непрерывно вращающуюся касательную, угол наклона к-рой к действительной оси как функция длины дуги удовлетворяет условию Липшица. При этом же условии на кривую Г для всякой функции f(z), аналитической в области Gи непрерывной в замкнутой области имеет место неравенство Лебега где постоянная c1 не зависит от пи z, a — наилучшее равномерное приближение функции f(z) многочленами степени не старше пв замкнутой области В числителе левой части формулы (1) можно ввести весовую функцию вида где функция g(z), аналитическая в области D, отлична от нуля и Тогда коэффициенты разложения (1) наз. обобщенными многочленами Фабера. Лит.:[1] Faber G., лMath. Ann.