Егорова Теорема

О связи между понятиями сходимости почти всюду и равномерной сходимости последовательности функций: пусть m есть s-аддитивная мера, определенная на s-алгебре и последовательность ц-измеримых почти везде конечных функций fk(x),k=1, 2, . . ., сходится почти всюду к функции f(х);тогда для любого e>0 существует такое измеримое множество что и на множестве Е e. последовательность fk(x)сходится к функции f(x)равномерно. В случае, когда m.- мера Лебега на прямой, это утверждение доказано Д. Ф. Егоровым [1]. Е. т. допускает различные обобщенные формулировки, расширяющие ее возможности. Пусть, напр., fk(x).- последовательность измеримых отображений локально компактного пространства Xв метризуемое пространство Y, причем предел существует локально почти всюду на Xпо Радона мере Тогда функция f: измерима по мере m и для любых компакта КМ Х и числа e>0 найдется компакт такой, что а сужения fk на K1 непрерывны и равномерно сходятся на К 1 к f. Заключения Е. т. могут не выполняться, если Yне метризуемо. Лит.:[1] Егоров Д. Ф., "С.r. Acad. sci", 1911, t. 152, p. 244-6; [2] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976. Л. Д. Кудрявцев.