Двумерный Узел

Класс изотопных вложений двумерной сферы S2 в четырехмерную S4. Чисто топологич. теория не развита, ибо еще не выяснено (1978) соотношение чистой и кусочно линейной топологии в размерности 4. Обычно накладывается условие локальной плоскостности. Метод изучения — рассмотрение сечений S'2 пучком параллельных трехмерных плоскостей. Основным является вопрос о том, будет ли узел тривиален, если его группа изоморфна Z. Известно, что в этом случае дополнение имеет гомотопич. тип S1.3-лентой в S4 наз. образ D3 такой иммерсии где D3- трехмерный диск, что j| дD3 — вложение; самопересечения j состоят из конечного числа попарно непересекающихся двумерных дисков D1,. . ., Dn;прообраз j1(Di) каждого диска Di является объединением двух таких дисков D'i и D"i , что Образ края дD3 является двумерным узлом в S4. Так получаемые узлы наз. ленточными узлами. Это — один из наиболее изученных классов Д. у. Всякий ленточный Д. у. является границей нек-рого трехмерного подмногообразия сферы S4, гомеоморфного либо диску D3, либо связной сумме нек-рого числа Ленточный Д. у. тривиален тогда и только тогда, когда фундаментальная группа его дополнения изоморфна Z. Группа Gтогда и только тогда является группой некрого ленточного Д. у. в S4, когда она имеет копредставление Зиртингера, т. е. копредставление |x1, ..., х п: rl , ..., r т|, где каждое соотношение имеет вид xi= wi, jxjw-1i, j, в котором число соотношений на единицу меньше числа образующих в G/[G, G]=Z. Класс групп всех Д. у. полностью не описан. Известно, что этот класс шире класса групп k-мерных узлов в Sk+2,. Последний класс полностью охарактеризован (см. Многомерный узел). Свойства групп Д. у., к-рыми, вообще говоря, не обладают группы трехмерных узлов в S5, таковы: где G' = [G, G]- коммутант; на конечной группе Т=Tors (G'/G" )существует такая невырожденная симметричная форма что для любых имеет место L(x, y) = L(tz,ty), где t : Т->. Т — автоморфизм, индуцированный сопряжением в группе Gна элемент то. Задача вычисления решена лишь для частных типов Д. у., напр, полученных конструкцией Артина, ленточных и расслоенных. А. В. Чернавский, М. Ш. Фарбер.