Двух Тел Задача

Задача о движении в трехмерном евклидовом пространстве Е 3 двух материальных точек Р 1 и Р 2 с массами т 1 и т 2 под действием ньютонова притяжения. Д. т. з. является частным случаем задачи птел, к-рая описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений порядка вп и имеет 10 независимых интегралов: 6 — движения центра инерции, 3 — площадей и 1 — энергии (см. [1]). Д. т. з. имеет, кроме того, еще три интеграла Лапласа (из них один независим от предыдущих) и является полностью интегрируемой (см. [2]). Интегрирование Д. т. з. удобнее производить в специальных системах координат, использующих указанные интегралы. Если начало декартовых координат х, y, z поместить в точку Р 1 (при этом используются все 6 интегралов движения центра инерции) и ось zнаправить по вектору, составленному из интегралов площадей (при этом используются два интеграла площадей), то движение точки Р 2 происходит в плоскости z=0и удовлетворяет системе (1) где m=f(m1+m2), f — гравитационная постоянная. Система (1) имеет 4 интеграла: су- mxr-1 = l1 и cx+myr-1 =-l2 (Лапласа), связанных соотношением При этом (2) т. е. орбиты точки Р 2 суть конич. сечения с параметром р=с2/m, большой полуосью a=-m/(2h), эксцентриситетом долготой перицентра со и с фокусом в начале координат. Положение точки Р 2 на орбите определяют истинной аномалией v, отсчитываемой от направления на перицентр; тогда (2) дает r=p/(1+ecos v). Если , то возможны три типа орбит (I) при h<0 это — эллипсы, тогда(II) при h>0 это — гиперболы, тогда(III) при h=0 это — параболы, тогда Здесь t — момент прохождения через перицентр, и- эксцентрическая аномалия. Если c=0, то движение происходит по прямой линии. Д. т. з. описывает невозмущенное кеплерово движение планеты относительно Солнца либо спутника относительно планеты и т. п. Лит.:[1] Зигель К. Л., Лекции по небесной механине, пер. с нем., М., 1959; [2] Абалакия В. К. (и др.), Справочник по небесной механике и астродинамике, М., 1971. А. Д. Брюно.