Двойственности Принцип

1) Д. п. в математической логике — теорема о взаимозаменяемости в определенном смысле логич. операций в формулах формальных логических и логико-предметных языков. Пусть А- формула языка логики высказываний или логики предикатов, не содержащая знака импликации ; формула А* наз. двойственной формуле А, если она может быть получена из Азаменой в Акаждого вхождения символов двойственными им операциями, т. е. соответственно символами Д. п. гласит, что если истинно, то истинно В частности, если формулы А и В эквивалентны, то эквивалентны и двойственные им формулы А* и В*. Д. п. справедлив для классич. систем, при этом эквивалентность и истинность формул в его формулировке могут пониматься как в терминах интерпретаций, так и в смысле выводимости в соответствующем классич. исчислении. При конструктивном понимании формул Д. п. перестает действовать. Так, напр., в языке логики высказываний импликация конструктивно верна и даже выводима в Гейтинга формальной системе, однако обратная импликация двойственных формул конструктивно неверна (напр., нереализуема по Клини — Роузу). С Д. п. тесно связана следующая теорема: если F*( А 1,..., А n) — формула, двойственная пропозициональной или предикатной формуле F(A1,. . ., А п), построенной без употребления импликации из элементарных высказываний А 1,. . ., А п, то формула F(A1,..., А п )эквивалентна формуле в классич. исчислении высказываний или предикатов, соответственно. Лит.:[1] Новиков П. С, Элементы математической логики, М., 1959; [2] К лини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957. Ф. А. Кабаков.2) Д. п. в геометрии — принцип, формулируемый в нек-рых разделах геометрии и заключающийся в том, что, заменяя в любом верном предложении всеI входящие в него понятия на двойственные им, получают верное (двойственное первому) предложение. Справедливость Д. п. в проективной геометрии вытекает из того, что каждой аксиоме проективной геометрии соответствует двойственное предложение, являющееся либо аксиомой, либо теоремой. В проективной геометрии на плоскости двойственными являются понятия: точка прямая точка, инцидентная прямой алгебраическая пиния порядка пкасательная прямая к линии прямая, инцидентная точке алгебраический пучок прямых класса пхарактеристическая точка пучка Если считать отношением инцидентности между точкой и линией второго порядка принадлежность точки линии второго порядка, а отношением инцидентности прямой с линией второго порядка — касание прямой к линии второго порядка, то понятием, двойственным линии второго порядка, является линия второго порядка. Примером пары двойственных утверждений могут служить Брианшона теорема и Паскаля теорема. В проективной геометрии в пространстве двойственны понятия точки и плоскости; понятие прямой само себе двойственно. Д. п. имеет место и в эллиптич. геометрии, где, кроме понятий проективной геометрии двойственными являются понятия отрезка и угла. Так. напр., в эллиптич. геометрии справедливы следующие два двойственных утверждения: два треугольника равны, если три стороны одного соответственно равны трем сторонам другого два треугольника равны, если три угла одного соответственно равны трем углам другого Лит.:[1] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 5 изд., М., 1971. А. С, Пархоменко.3) Д. п. в проективной геометрии состоит в том, что любой теореме относительно подпространств Sa, Sb, . . . проективного пространства ПД их пересечений и сумм соответствует теорема относительно подпространств Sn_ а_1 Sn-b-1,... их сумм и пересечений. Д. п. определяется двойственным характером аксиом проективной геометрии и вытекающих из них теорем. Для проективного пространства П n (Х)над телом КД. п. справедлив тогда и только тогда, когда Кдопускает инверсный автоморфизм. В общем случае имеет место двойственность между проективными пространствами П п (Х). и П п( К*), тела Ки K* к-рых инверсно изоморфны: таковы, напр., левое и правое проективные пространства Р пl (К). и Р пr (К)над К(см. Проективная алгебра, Корреляция), причем соответствие между ними, т. е. соответствие между Sk и Sn-k-1 определяется выбором пары координатных систем в П п (К). и П n( К*). Д. п. можно обосновать также с помощью дуальных отображений линейных пространств q п+1 (К). над телом, к-рые используются для интерпретации проективных пространств. М. И. Вопцеховский.4) Д.