Двойственность

1) Д. в алгебраической геометрии — двойственность между различными пространствами когомологий на алгебраич. многообразиях. Когомологий когерентных пучков. Пусть X- неособое проективное алгебраич. многообразие размерности nнад алгебраически замкнутым полем к, а — локально свободный пучок на X. Теорема двойственности Серра утверждает, что конечномерные линейные векторные пространства когомологий двойственны друг другу. Здесь — пучок ростков регулярных дифференциальных форм n-й степени на X, а -двойственный к локально свободный пучок. В случае, когда — обратимый пучок, соответствующий дивизору Dна X, эта теорема устанавливает равенство где К- канонич. дивизор на X. При n = 1 эквивалентное этому равенство было найдено еще в 19 в. Существует обобщение теоремы Серра на случай когомологий произвольных когерентных пучков на полных алгебраич. многообразных (см. [1], [4]). В частности, когда многообразие Xесть подмногообразие Коэна — Маколея (напр., локально полное пересечение) коразмерности dв неособом проективном многообразии У, имеет место Д. между k-пространством Н i( Х, F) и пространством глобальных Ext'oв где -когерентный пучок на X, (дуализирующий пучок Гротендикa), a n=dim X. При этом пучок является обратимым в том и только в том случае, когда Xесть схема Горенштейна (см. Горенштейна кольцо). Этальные когомологии. Пусть X- полное связное неособое алгебраич. многообразие размерности dнад алгебраически замкнутым полем к, п- целое число, взаимно простое с характеристикой поля А:,- локально свободный (в этальной топологии) пучок -модулей на X,mn — пучок корней п-А степени из единицы. Существует невырожденное спаривание Z/nZ-модулей [6]: Более общая теорема Д. относится к гладким, но необязательно полным многообразиям [5]. Существует невырожденное спаривание -модулей где слева стоят когомологии с компактными носителями. Если поле кесть алгебраич. замыкание поля k', то группа Галуа Gal(k/k' )действует на Н i( Х, F )и предыдущее спаривание есть спаривание Gal(k/k') -мо дулей. Аналогом первой из приведенных теорем Д. для l-адических когомологии является теорема двойственности Пуанкаре: существует невырожденное спаривание Zi -модулей где Zl[d]- пучок Тейта, неканонически изоморфный пучку Zl (см. l-адические когомологии). Отсюда следует изоморфизм Ql -пространств и, в частности, равенство чисел Бетти Так же, как и в случае когомологии когерентных пучков, имеется обобщение предыдущих результатов на относительный случай собственного морфизма схем, формулируемый на языке производных категорий [6]. Другие теории когомологии. Аналоги теоремы Пуанкаре имеют место для теории кристальных когомологии [7], когомологии де Рама над полем нулевой характеристики [8]. В теоретико-числовых приложениях важную роль играют когомологии пучков на плоской топологии Гротендика числовых схем. В отдельных частных случаях для таких когомологий также имеются теоремы Д. [9]. Лит.:[1] Гротендик А., в сб.: Международный математический конгресс в Эдинбурге, М., 1962, с. 116-37; [2] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 10, М., 1972, с. 47-112; [3] Серр Ж.-П., в сб. переводов: Расслоенные пространства и их приложения, М., 1958, 372-450; [4] Наrtshоrne R., Residues and duality, В., 1966; [5] Theorie des topos et cohomologie etale des schemas, t. 3, В., 1973; [6] Verdier J. L., в кн.: Proceedings of a Conference on Local Fields, В., 1967, S. 184-98: [7] Berthelot P., Cohomologie cristalline des schemas de caracteristique p>0, В., 1974; [8] Hartshorne R., Ample subvarieties of algebraic varieties, В., 1970; [9] Mazur В., "Amer. J. Math.", 1970, v. 92, p. 343-61; [10] Altman А., Кleiman S., Introduction to Grothendieck duality theory, В., 1970. И. В. Долгачев.2) Д. в алгебраической топологии — положение, когда значения одних топологич. инвариантов определяют значения других. Д. в алгебраич. топологии выражается: в Д. (в смысле теории характеров) между группами гомологии и когомологии одной и той же размерности при двойственных группах коэффициентов; в изоморфизме между группами гомологии и когомологии дополнительных размерностей многообразия (Пуанкаре двойственность);в изоморфизме между группами гомологии и когомологии взаимно дополнительных множеств пространства (Александера двойственность);во взаимозаменяемости в определенных ситуациях гомотопических и когомотопических, а также гомологич. и когомологич. групп, к-рая без дополнительных ограничений на размерность пространства имеет место не для обычных, а для S- гомотопич. и S-когомотопич. групп (см. S-двойственность). Д. между гомолог и ями и когомологиями состоит в следующем. Пусть — произвольная гомологии теория над нек-рой допустимой категорией пар пространств и их отображений, т. е. система, удовлетворяющая Стинрода- Эйленберга аксиомам теории гомологии с дискретной или компактной абелевой группой Н r( Х, А). Тогда система , где Н r( Х, А) — группа характеров группы Н r( Х, А), а f* и d — гомоморфизмы, сопряженные соответственно гомоморфизмам f* и д, удовлетворяет аксиомам Стинрода — Эйленберга теории гомологии и стало быть представляет собой теорию когомологии над той же категорией с компактной или, соответственно, дискретной группой Н r( Х, А). Подобным же образом для каждой теории когомологии может быть построена двойственная теория гомологии. Следовательно, теории гомологии и когомологии составляют двойственные пары; при этом; преобразование одной теории в другую, с точностью до естественных эквивалентностей, является инволюцией. Для любой теоремы теории гомологии, т. е. теоремы относительно системы , существует двойственное утверждение относительно системы , т. е. теорема теории когомологии, и наоборот. При переходе к двойственному утверждению группы заменяются их группами характеров, гомоморфизмы меняют направление, подгруппы заменяются факторгруппами, и наоборот. Примерами могут служить сами аксиомы Стинрода — Эйленберга. В случае конкретных категорий пли теорий построение этой Д. осуществляется, напр., следующим образом. Пусть (конечный) комплекс. За произведение r-мерной цепи с r комплекса Кнад дискретной или компактной группой Xкоэффициентов и r-мерной коцепи Gr комплекса Кнад группой X* коэффициентов, двойственной Xв смысле теории характеров, принимается число mod 1 Это произведение определяет умножение класса гомологии с классом когомологии и превращает r-мерные группы гомологии и когомологии в группы характеров одна другой. На бесконечных комплексах имеются группы двух видов — проекционные и спектровые. Спектровые группы гомологии являются пределами прямых спектров групп гомологии замкнутых подкомплексов, упорядоченных по возрастанию, а проекционные группы гомологии — гомологич. группами пределов прямых спектров из групп цепей указанных подкомплексов. Группы когомологии получаются аналогично, как пределы соответствующих обратных спектров. При дискретной группе коэффициентов обе гомологич. группы совпадают и дают группу гомологии конечных циклов, а при компактной группе совпадают когомологич. группы и дают группу когомологии бесконечных коциклов. Д. в случае конечных комплексов порождает Д. проекционных групп между собой и спектровых групп между собой, а эти последние Д. (посредством сингулярных комплексов, нервов покрытий и т. п.) — Д. r-мерной проекционной (соответственно спектровой) группы гомологии Hr(R, X )пространства Rнад дискретной или компактной группой Xкоэффициентов в какой-либо теории ( сингулярных гомологии, Александрова- Чеха гомологии и когомологий, Въеториса гомологии и т. п.) с r-мерной проекционной (соответственно спектровой) группой когомологий Hr(R, X* )в той же теории над группой X*, двойственной X(см. [1], [3], [6], [9]): Соотношения между инвариантами, выражающими связности дополнительных размерностей многообразия, были установлены в первой же работе по алгебраич. топологии — в статье А. Пуанкаре (Н. Poincare, 1895), где было показано, что для n-мерного ориентируемого многообразия его р-мерное и (n- р)-мерное числа Бетти равны друг другу, равно как и p-мерный и (п- р- 1)-мерный коэффициенты кручения. Эта теорема была усилена О. Вебленом (О. Veblen, 1923), сформулировавшим ее для баз гомологии, а применение групп когомологий придало ей форму, полнее выражающую содержание этой Д. Для получения этой формы следует поставить в соответствие каждой r-мерной цепи с r, заданной на какой-либо триангуляции Кгомологического "-мерного ориентированного многообразия М n и принимающей значения из дискретной или компактной группы Xкоэффициентов (п- р)-мерную коцепь с n-p клеточного комплекса K* из барицентрических звезд К, принимающую на какой-либо звезде то значение, которое с. имеет на соответствующем этой звезде симплексе. Указанное соответствие, в силу совпадения групп комплексов Ки K*, определяет изоморфизм групп гомологии и когомологий дополнительных размерностей многообразия М n: При этом Xможет быть и модулем, а в случае неориентируемого многообразия теорема верна по модулю 2. Замена группы Н п-r( М п, X )двойственной ей группой Н п-r( М n, X* )приводит к Д. [1]: представляющей интерес еще и тем, что при ней произведением оказывается индекс пересечения циклов, произвольно выбранных из перемножаемых классов (см. [1], [И], [12], [13], [15], [16]). Большой этап, вначале теоретико-множественный, по отысканию топологич. свойств множества, к-рыe определялись бы топологич. свойствами его дополнения, завершился теоремой, полученной Дж. Александером (J. Alexander, 1922) и утверждающей, что r-мерное число Бетти mod 2 полиэдра, лежащего в n-мерной сфере, равно (n-r-1)-мерному числу Бетти mod 2 дополнения (см. Александера двойственность)., В свою очередь, эта теорема положила начало ряду исследований, в сильной мере повлиявших на развитие всей алгебраич. топологии. Исследования велись в направлении обобщения классов пространств (плоскость, евклидовы пространства, сферы и многообразия любых размерностей, локально компактные пространства и т. д.), их подмножеств (полиэдры, замкнутые подмножества, произвольные подмножества) и областей коэффициентов (целые числа по модулю 2, группа целых чисел, поле рациональных чисел, другие конкретные группы и поля, произвольная абелева группа, топологич., в основном компактные, абелевы группы и т. п.), для к-рых имеет место двойственность Александера, а также усиления тех соотношений, к-рые связывают инварианты взаимно дополнительных множеств (равенство чисел Бетти, изоморфизм групп, Д. топологических групп, естественные и связывающие гомоморфизмы и т. п.). Ряд полученных результатов может быть представлен в виде диаграммы (см. [1] [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [11]): где X — дискретная или компактная группа коэффициентов, Х*|Х, А и В-взаимно дополнительные множества n-мерного сферич. многообразия М п, Н r( А, X )и Н r( А, X*)- r-мерные группы гомологии и когомологий (с компактными носителями) Александрова — Чеха множества Анад Xи соответственно X*, а Н п-r-1 ( В, X*) u Hn-r-1(B, X )суть ( п-r-1)-мерные спектровые группы гомологии и когомологий Александрова — Чеха множества Внад X* и соответственно над X. Указанные в диаграмме соотношения, полученные различными авторами и различными способами, согласованы в том смысле, что соответствующие при изоморфизмах элементы представляют собой один и тот же характер остальных групп при вертикальных и горизонтальных Д. Таким образом, они являются различными формами одной и той же теоремы двойственности. Верхняя двойственность есть Д. зацепления, т. е. при ней произведением элементов является зацепления коэффициент циклов, произвольно выбранных из перемнежаемых классов или, в случае компактной группы X*, определяется по непрерывности зацеплением циклов. В приведенной диаграмме группы первого столбца могут быть заменены (r+1)-мерными группами гомологии и когомологии Стинрода с компактными носителями, а группы второго столбца — (n-r-1)-мерными проекционными группами гомологии и когомологий Александрова — Чеха; тогда, в случае компактного Аизоморфизм главной диагонали дает теорему двойственности Стинрода в ее первоначальном виде, если когомологич. группу множества Взаменить, но теореме Пуанкаре, (r+ 1)-мерной группой гомологии бесконечных циклов. Если группа Xкомпактна, то диаграммы изоморфны; если, кроме того, и множество Акомпактно, то двойственность верхней строки диаграммы представляет собой теорему, полученную Л. С. Понтрягиным в 1934 ([1], см. Понтрягина двойственность). О дальнейших обобщениях и направлениях см. [10], [14], [15], [16]. Важным видом двойственности Александера, касающимся связывающего гомоморфизма и аксиомы точности, является изоморфизм между группами гомологии, а также между группами когомологий соседних размерностей. Эти изоморфизмы, установленные П. С. Александровым и А. Н. Колмогоровым, утверждают, что r-мерная группа гомологии (соответственно когомологий) замкнутого множества Анормального локально бикомпактного пространства R, ацикличного в размерностях r и r+1, над компактной (соответственно дискретной) группой Xизоморфна (r+1)-мерной группе гомологии (соответственно когомологий) дополнения:и Из этих изоморфизмов выводится теорема Понтрягина. П. С. Александров [2] получил эти изоморфизмы из общих соотношений Д., связывающих группы гомологии и когомологий взаимно дополнительных множеств и пространства, а также ядра, образы и факторгруппы этих групп при их естественных гомоморфизмах вложения и высечения. Эти соотношения несут также много другой важной информации о расположении множеств в пространстве. П. С. Александров [2] получил их с помощью спектровых групп гомологии и когомологий относительно так называемых особых подкомплексов нервов, состоящих из симплексов, замыкания вершин которых некомпактны. А. Н. Колмогоров доказал вышеуказанные изоморфизмы Д. посредством так называемых функциональных групп гомологии и когомологий (см. Колмогорова двойственность). Указанные выше и другие Д. (ндпр., Лефшеца двойственность )связаны между собой различными соотношениями. Они могут быть рассмотрены и как следствия нек-рой общей Д., в к-рой участвуют так называемые внешние группы множества, являющиеся прямым пределом групп когомологин окрестностей этого множества, упорядоченных по вложению (см. [3], [4], [5], [6], [7], [12], [13]). Связи между различными Д. приобретают новый вид при их рассмотрении с помощью пучков теории. Лит.:[1] Понтрягин Л. С, "Успехи матем. наук", 1947, т. 2, в. 2, с. 21-44; [2] Александров П. С, "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1942, т. 6, с. 227-82; [3] его же, "Матем. сб.", 1947, т. 21, № 2, с. 161-232; [4] его же, "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1955, т. 48, с. 1 — 108; 1959, т. 54, с. 1 — 136; [5] Чогошвили Г. С, "Докл. АН СССР", 1946 т. 51, № 2, с. 87-90; [6] его же, "Успехи матем. наук", 1966, т. 21, в. 4, с. 23-34; [7] KaplanS., "Trans. Amer. Math. Soc", 1947, v. 62, p. 248 — 71; [8] Ситников К. А., "Матем. сб.", 1954, т. 34, с. 3-54; 1955, т. 37, с 385-434; 1959, т. 48, с. 213-26; [9] Берикашвили Н. А., "Тр. Тбил. матем. ин-та", 1957, т. 24, с. 409-84; [10] Баладзе Д. С, там же, 1972, т. 41, с. 41-83; [11] Bourgin D., Modern Algebraic Topology, N. Y.-L., 1963; [12] Спеньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971; [13] Switzer R. M., Algebraic Topology Homotopy and Homology, B.-Heid.-N. Y., 1975; [14] Скляренко Е. Г., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1971, т. 35, № 4, с. 831-43; [15] Borel А., Мооrе J. С, "Michig. Math. J.", 1960, v. 7, p. 137-60; [16] Bredon G. E., Sheaf Theory, N. Y., [1967]. Г. С. Чогошвили.3) Д. в теории аналитических пространств — двойственность между различными векторными топологич. пространствами когомологнй комплексных пространств. Имеются три типа теорем Д., соответствующие двойственностям Пуанкаре, Лефшеца и Александера — Понтряпша в топологии, но относящиеся к пространствам когомологий Н р Ф( Х, F )комплексного пространства Xсо значениями в когерентном аналитич. учке F и носителями в семействе Ф или их факторпространствам (см. Когомологий со значениями в пучке). Первому типу принадлежит теорема двойственности Серра [1]. Пусть X- комплексное многообразие размерности псо счетной базой, W.- пучок голоморфных дифференциальных форм степени п,a F- локально свободный аналитич. учок на X. Для каждого целого р, определено билинейное отображение которое можно записать как композицию U-умножения (созначает семейство компактных носителей) и линейной формы sна называемой следом и имеющей вид где w — форма типа (u, n) с компактным носителем, отвечающая классу в силу теоремы Дольбо (см. Дифференциальная форма). Теорема двойственности Серра утверждает, что если наделить пространства когомологий канонической локально выпуклой топологией (см. Когерентный аналитический пучок), то отображение (*) непрерывно по первому аргументу и, при условии отделимости пространства устанавливает изоморфизм векторных пространств: Пучки и можно поменять ролями, поскольку операция на локально свободных пучках инволютивна. В частности, если многообразие Xкомпактно, Кканонический, a D- любой дивизор на X, то из теоремы Серра вытекает равенство размерностей пространств п к-рое часто используется при вычислениях с когомологиями. Известна аналогичная теорема Д. для неособых проективных алгебраич. многообразий над произвольным полем (см. в алгебраич. геометрии). В случае, когда — произвольный когерентный аналитич. учок на многообразии X, имеет место естественная топологич. Д. между отделимыми пространствами, ассоциированными с векторными топологич. пространствами и где Ф — семейство замкнутых носителей, Y — семейство компактных носителей или наоборот, а через обозначены производные функтора При этом пространство Н Р Ф( Х, F) отделимо одновременно с (см. [2], [3]). Для компактного Xотсюда следует изоморфизм конечномерных пространств Если X- многообразие Штейна, то получается топологич. Д. между и и между и Имеется также обобщение этих результатов на случай комплексных пространств с особенностями [4] и на относительный случай [5], аналогичное соответствующим теоремам Д. в алгебраич. геометрии. Аналогом теоремы Лефшеца является следующая теорема Д. [3]: пусть X- комплексное многообразие со счетной базой размерности п, К- штейнов компакт в X. Для любого когерентного аналитич. учка Fна Xи любого целого пространство имеет топологию типа DFS (сильно сопряженное к пространству Фреше — Шварца), а его сопряженное пространство алгебраически изоморфно Другая теорема того же типа [6]: в тех же предположениях, если открыто, то пространство имеет топологию типа QFS (факторпространства Фреше — Шварца), имеет топологию типа QDFS (факторпространства типа DFS), а ассоциированные с ними отделимые пространства находятся в топологич. Д. Пространство отделимо одновременно с Третий тип теорем Д. представлен следующей теоремой [8]: для любого открытого подмножества YМХ= СР 1 — сильное сопряженное к пространству Г(Y, OX/ Г(X, О X ))изоморфно Эта теорема допускает следующее обобщение [7]: пусть X- n-мерное комплексное многообразие, счетное на бесконечности, открыто, — когерентный аналитич. пучок на X,- целое число. Рассматриваются канонич. отображения векторных топологич. пространств Для того чтобы отделимое пространство, ассоциированное с Соkеr b, было изоморфно сильному сопряженному к Сокег а, необходимо и достаточно, чтобы Кеr gбыло замкнуто. (Известен пример, когда Кеr g не замкнуто.) В частности, если пучок локально свободен и то отделимые пространства, ассоциированные с и находятся в Д. Лит.:[1] Serre J.-P., "Comm. math, helv.", 1955, t. 29, p. 9-26; [2] Mai grange В., Seminaire Bourbaki, 1962/63, p. 246; [3] Banica C., StanasilaO., Metode algebrice in teoria globala a spatiilor complexe, Bucuresti, 1974; [4] Ramis J. P., Ruget G., "Publ. IHES", 1970, t. 38, p. 77 — 91: [5] иx жe, "Invent, math.", 1974, Bd 26, № 2, S. 89 -131; [6] Головин В. Д., "Функциональный анализ", 1971, т. 5, № 4, с. 66; [7] его же, "Матем. заметки", 1973, т. 13, № 4, с. 561; [8] Grоthendiеоk A., "J. reine und angew. Math.", 1953, Bd 122, № 1, S. 35. В. П. Паламодов.4) Д. в теории аналитических функций. а) Преобразование Бореля. Э. Борелю (Е. Borel, 1895) принадлежит идея преобразования каждого ряда вида: в ряд и обратно, при условии Так устанавливается отношение Д. между функциями, аналитическими в окрестности бесконечно удаленной точки |z|>s и целыми функциями экспоненциального типа а. На этом пути, напр., получается теорема Пойа: пусть k(j) — опорная функция выпуклой оболочки множества особенностей функции а(г) (при аналитическом продолжении на полуплоскость вида Re(ze-ij)>c,a- индикатор роста целой функции A(г); тогда В силу этого отношения двойственности задача аналитич. родолжения функции a(z)в круг |z|<s эквивалентна изучению роста соответствующей целой функции A(z) по различным направлениям. б) Д. в пространствах аналитич, функций. Пусть G- открытое множество расширенной комплексной плоскости С и A(G)- пространство всех аналитических в Gфункций с топологией, задаваемой системой норм где — возрастающая система компактных множеств, содержащихся в Gи исчерпывающих G; таким образом, сходимость в A(G)означает равномерную сходимость на всех компактных подмножествах G. Пусть A0(G)- подпространство A(G), для функций к-рого , и F- компактное подмножество Рассматривается система всех открытых множеств и множество функций Две функции f1(z) и f2 (z) из этого множества считаются эквивалентными, если совпадают их сужения на нек-рое множество Введенное отношение эквивалентности разбивает всю рассматриваемую совокупность на классы Каждый класс наз. локально аналитической на Fфункцией, и совокупность таких функций обозначается A(F). Класс A(F)естественным образом превращается в линейное пространство, и в нем вводится топология индуктивного предела последовательности нормированных пространств В п. Последние строятся следующим образом. Пусть — убывающая последовательность множеств из такая, что и Тогда В п- пространство ограниченных в G,, аналитич. функций с нормой Простейший факт оД. пространств аналитических функций состоит в следующем. Пусть G- открытое множество и (для определенности) Двойственным (сопряженным) к пространству A0(G). (в смысле теории линейных топологич. пространств) является пространство A(F). Эта Д. устанавливается следующим образом: если L(f) — непрерывный линейный функционал над A0(G), то существует единственный элемент такой, что где g — некоторый (сложный) контур; идущий в G и охватывающий F, а не зависит от Пространства (Е)могут быть определены для произвольных множеств а не только для рассмотренных здесь случаев, когда E=G — открытое множество и E=F- компакт. Дальнейшие обобщения: рассмотрение множеств на ри меновых поверхностях, пространств функций многих комплексных переменных, пространств векторнозначных аналитич. функций (со значениями в линейных топологич. пространствах). Развитие теории Д. пространств аналитич. функций, с одной стороны, стимулировалось развитием общей теории Д. линейных топологич. пространств, а с другой стороны, само стимулировало развитие общей теории выявлением глубоких конкретных закономерностей. Применения Д. пространств аналитич. функций многообразны: вопросы интерполяции и аппроксимации (см. ниже), аналитическое продолжение, разделение и устранение множеств особенностей, интегральные представления различных классов функций. в) Д. между теоремами полноты и единственности. Полнота системы элементов какого-либо локально выпуклого пространства Xимеет место в том и только том случае, когда для произвольного линейного непрерывного в Xфункционала из п=1, 2, ..., следует Этот факт приводит к установлению связи между проблемами полноты в пространствах аналитич. функций и разного рода теоремами единственности для аналитич. функций. С функционалом связывается (ср. п. 1) нек-рая аналитнч. функция F(z). Условие n=1, 2, ... , приводит к равенству нулю F(z) в нек-рых точках или к равенству нулю коэффициентов F(z). Теоремы единственности позволяют заключить, что F(z)=0, а затем и что функционал Для пространств аналитич. функций в круге был сформулирован следующий принцип двойственности проблем единственности и полноты. Пусть А R и А р- соответственно пространства функций, аналитических в кругах: |z|<R и |z|<P, где 0<R, и F(z,z) — функция, аналитическая в бицилиндре: |z| <R, |z|<Р. Пусть Lи — линейные функционалы, определенные в Ar и и пусть и — подмножества функций, представимых соответственно в виде и LF(z, z). Последовательность функций Z будет полной в тогда и только тогда, когда для каждой изи=0, 1, 2, ..., следует: j(z)=0. В частности, когда и оба множества Oи Qсовпадают с совокупностью всех целых функций экспоненциального типа. г) Д. в экстремальных задачах теории функций. Известно, что задачи наилучшего приближения в нормированных пространствах двойственно связаны с нек-рыми линейными экстремальными задачами. Так, если Е- подпространство в нормированном пространстве Xи w — произвольный элемент X, то где — аннулятор Е, т. е. совокупность линейных функционалов l, обращающихся в нуль на элементах Е. Соотношение (1), устанавливаемое на основании теоремы Хана — Банаха, оказалось впоследствии частным случаем двойственных связей экстремальных задач математич. программирования. Пусть Gесть n-связная область, граница дG к-рой состоит из спрямляемых контуров, В 1- класс аналитических в Gфункций f(z),E1- класс аналитических в Gфункций, представимых интегралом Коши через свои граничные значения, w(z) — какая-либо интегрируемая функция на дG. Имеет место равенство: Слева в этом соотношении стоит линейная экстремальная задача для ограниченных функций (напр., при получают задачу о — задачу о "лемме Шварца" — в многосвязной области); справа — задача наилучшего приближения произвольной функции w(z) на дG граничными значениями аналитич. функций в интегральной метрике. Соотношение (2) служит отправным пунктом для проникновения в каждую из двух экстремальных задач, содержащихся в нем: с его помощью устанавливаются характеристич. свойства экстремальных функций и исследуется вопрос об их единственности и т. д. Функция f* (z) оказывается наделенной важными геометрич. свойствами: в задаче о лемме Шварца она отображает Gна n-листный круг; в других задачах с w(z), аналитической на дG, функция f*(z) отображает Gна m>п- листный круг (см. [2] — [4]). Лит.:[1] Маркушевич А. И., Избранные главы теории аналитических функций, М., 1976; [2] Итоги науки. Математический анализ. 1964, М., 1966, с. 76-164; [3] Итоги науки. Математический анализ. 1967, М., 1969, с. 75-132; [4] Итоги науки. Математический анализ. 1963, М., 1965, с. 5-80; [5] Исследования по современным проблемам теории функций комплексного переменного, М., 1960, с. 77-85, А. И. Маркушевич, С. Я. Хавинсон. продолжение ...5) Д. в теории топологических векторных пространств — тройка , в к-рой F, G- векторные пространства над полем К, f- билинейный функционал (форма) в обладающий свойством отделимости: если f(x, y)=0 для каждого у, то если f(x, y)=0 для каждого х,то Говорят также, что форма fосуществляет Д., а пространства F, G находятся в Д., или образуют дуальную пару; если f фиксирована, то пишут f(x, y)=( х, у). Важнейшим примером является естественная двойственность: F-(F,t) — локально выпуклое топологическое векторное пространство с топологией т, G=(F, t)' — сопряженное пространство всех линейных т-непрерывных функционалов в Fи ( х, х') -х' (х)при свойство отделимости для этой формы (. , .) вытекает, напр., из локальной выпуклости топологии т (теорема о достаточном числе функционалов — следствие теоремы Хана — Банаха). Теория Д. изучает в основном способы построения объектов в Fили G, дуальных (двойственных) заданным относительно формы (. , .); соответствия между свойствами взаимно дуальных объектов; топологии, порождаемые Д. Основным инструментом этого изучения является аппарат поляр (при K=R или С полярой множества А, наз. множество Д. порождает различные локально выпуклые топологии на F(и равным образом на G);такие, напр., как слабая топология s(F, G )(порожденная заданной Д.), задаваемая семейством полунорм |(Х, у)|, это — слабейшая топология, при к-рой все отображения ( Х, у )непрерывны; топология Макки m(F, G )с базой окрестностей нуля, образованной полярами А° абсолютно выпуклых s(G, F -компактных подмножеств Ав G;сильная топология t* (F, G), база к-рой образована полярами А 0 ограниченных подмножеств А в (G,s(G, F)). Для любого А, множество A00 является выпуклой s(F, G )-замкнутой оболочкой множества (теорема о биполяре). Пространство Gсовпадает с (F,s(F, G))' (основная теорема теории Д., показывающая, что любую Д. можно интерпретировать как естественную). Пространство (F', s(F', F))наз. слабым сопряженным с F. Пусть F- локально выпуклое пространство над R или С. Для ограниченности множества А, необходимо и достаточно каждое из условий: а) Аограниченно в слабой топологии; б) А 0 — поглощающее множество. Если А- окрестность, то А 0 является s(F', F -компактом. Метризуемое пространство Fполно в том и только в том случае, когда замкнутость множества А, в топологии s(F', F)равносильна замкнутости в той же топологии всех пересечений где U- окрестность нуля в F(теорема Крейна — Шмульяна). Если F- полное сепарабельное пространство и f — линейный функционал в F', то тогда и только тогда, когда из условия lim xn=O в топологии s(F', F )следует (теорема Гротендика). Подмножество А полного пространства Fотносительно s(F, F' )-компактно, если оно относительно s(F, F' )-секв