Двойного Слоя Потенциал

Выражение вида где Г — граница произвольной ограниченной Ж-мерной области п у- внешняя по отношению к области gнормаль к границе Г в точке у,m(у).- плотность потенциала — функция, заданная на Г, h(rxy)- фундаментальное решение уравнения Лапласа — площадь поверхности единичной (N-1)-мерной сферы,- расстояние между точками хи . Граница Г принадлежит классу С (1,l); она является поверхностью или дугой Ляпунова. Выражение (1) может быть истолковано как потенциал, создаваемый диполями, помещенными на Г, направление к-рых в каждой точке совпадает с направлением внешней нормали ny, а интенсивность равна m(y). Если то и(х)определено для всех (в частности и для и обладает следующими свойствами.1) Всюду в функция и(х)имеет производные всех порядков и удовлетворяет уравнению Лапласа, причем производные по координатам точки хможно вычислять дифференцированием под знаком интеграла.2) При переходе через границу Г функция и(х)испытывает разрыв. Пусть х 0- произвольная точка на Г, и +( х 0 )и и -( х 0 )-предельные значения изнутри и извне, тогда и ±( х 0 )существуют и равны причем интеграл в формуле (3) как функция принадлежит С (0, a) при любом кроме того, функция, равная и в gи и + на Г, непрерывна в g+Г, а функция, равная ив EN-(g-Г )и и — на Г, непрерывна в EN-g.3) Если плотность и то и(х), продолженная так же, как в 2)на g+Г или EN-g, принадлежит классу С (0,a) в g+Г или в EN-g.4) Если a>1-l, а х 1 и х 2- две точки, принадлежащие нормали, выходящей из точки х 0, симметричные относительно точки х 0, то В частности, если существует одна из производных ди +( х о)/дп, ди -( х о)/дп, то существует и другая и ди +( х о)/дn=ди -( х о)/дп. Это свойство справедливо также, если а Перечисленные выше свойства обобщаются во многих направлениях. Плотность m(x) может принадлежать L р (Г), . Тогда вне Г и удовлетворяет уравнению Лапласа, формулы (3) и (4) имеют место для почти всех и интеграл в (3) принадлежит Lp (Г). Изучены также свойства Д. с. п., понимаемых как интегралы по произвольной мере v, определенной на Г: здесь также вне Г и удовлетворяет уравнению Лапласа, формулы (3) и (4) имеют место для почти всех по мере Лебега v(x)с заменой m(z0) на производную меры v' (x0). В определении (1) фундаментальное решение уравнения Лапласа может быть заменено на произвольную функцию Леви для общего эллиптич. оператора 2-го порядка с переменными коэффициентами, а д/дn- на производную по конормали. При этом остаются справедливыми свойства, перечисленные выше (см. [2]). Д. с. п. играет важную роль в решении краевых задач для эллиптич. уравнений. Представление искомого решения (первой) краевой задачи в виде Д. с. п. с неизвестной плотностью m(y) и использование свойства 2) приводит к интегральному Фредгольма уравнению второго рода на Г для определения функции m(у)(см. [1], [2]). При решении краевых задач для параболич. уравнений используется понятие теплового потенциала двойного слоя, т. е. интеграл вида где G(x, t; у,t) — фундаментальное решение уравнения теплопроводности в N-мерном пространстве:s( у, т) — плотность потенциала. Функция v(x, t )и ее обобщение на случай произвольного параболич. уравнения 2-го порядка обладают свойствами, аналогичными указанным выше для и(х)(см. [3], [4], [5]). Лит.:[1] Гюнтер Н. М., Теория потенциала и ее при" менение к основным задачам математической физики, М,,1953; [2] Миранда К.,. Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957; [3] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966; [4] Смирнов В. И., Курс высшей математики, 5 изд., т. 4, М., 1958; [5] Фридман А., Уравнения с частными производными параболического типа, пер. с англ., М., 1968. И. А. Шишмарев.