Этимологический словарь Крылова
дробить
Образовано от основы дроб (в диалектах еще существует прилагательное, сохранившееся в форме дробный со значением "мелкий, дробленый"). Та же снова с измененной корневой гласной выступает в словах вдребезги, дребедень, дребезжать.