Древовидное Многообразие

Гладкое нечетномерное многообразие специального вида, являющееся краем четномерного многообразия, строящегося из расслоений над сферами с помощью склеек по схеме, задаваемой нек-рым графом (деревом). Пусть pi: i= 1,2, ...- расслоение над n-сферами со слоем n-шар Dn и структурной группой SOn и пусть В ni- замкнутый стандартный ге-шар в n-сфере Sni тогда где — слой расслоения р i. Пусть — гомеоморфизм, осуществляющий склейку двух расслоений pi, pj и переводящий каждый n-шар из в некоторый шар из (склейка меняет сомножители прямого произведения ). Результатом склейки двух расслоений р i, pj является 2n-мерное многообразие к-рое превращается в гладкое многообразие с помощью операции "сглаживания углов". Расслоения рассматриваются как "строительные блоки", из к-рых с помощью попарных склеек результирующее гладкое многообразие строится следующим образом. Пусть Т- одномерный конечный комплекс (граф). Каждой вершине графа Тсопоставляется блок выбираются в непересекающиеся re-шары Bnik в количестве k=l, 2, ..., равном индексу ветвления соответствующей вершины, и производится склейка по схеме, указанной графом Т. Полученное таким образом многообразие с краем обозначается (опуская зависимость от выбора расслоений E2ni). через W2n(T). В случае, если Тесть дерево, то есть граф без циклов, то край dW2n(T) = M2n-1 наз. древовидным многообразием. Если Т- дерево, то W2n(T). имеет гомотопич. тип букета n-сфер в . количестве, равным числу вершин дерева Т. Д. м. M2n-1=dW2n(T)является целочисленной гомологич. (2n-1)-сферой тогда и только тогда, когда определитель матрицы целочисленной билинейной (-1)n -формы пересечений, определенной на решетке re-мерных гомологии Hn(W2n,Z), равен . Если это условие выполнено, то многообразие , W2n (Т)наз. плюмбингом. Если Т- произвольный граф и то W2n (Т)тогда и только тогда односвязно, когда Т- дерево. Если Т- дерево и то dW2n(T)односвязно; еслиW2n- плюмбинг, то край dW2n является гомотопич. сферой, Если плюмбинг W4k- параллелизуем, то на главной диагонали матрицы пересечений 2k-мерных циклов стоят четные числа; в этом случае сигнатура матрицы пересечений делится на 8. Плюмбинг Wik тогда и только тогда пара, ллелизуем, когда все расслоения над S2k, использованные при построении W4k, являются стабильно тривиальными; напр., если все расслоения, используемые при построении W4k, являются касательными расслоениями на диски над 2k-мернымн сферами, то плюмбинг W4k параллелизуем. Плюмбинг W4k+2 тогда и только тогда параллелизуем, когда каждое расслоение Е 4k+2, используемое в качестве блоков при построении плюмбинга Wi4k+2, принадлежит к одному из двух типов: оно либо тривиально, либо является трубчатой окрестностью диагонали в произведении то есть касательным расслоением на диски над S2k+2. Если плюмбинг W4k+2 параллелизуем, то его матрица пересечений приводится к симплектическому виду, состоящему из блоков расположенных вдоль главной диагонали. Среди плюмбингов особо выделяются многообразия Милнора размерности 4k, k>1 и многообразия Кервера размерности 4k+2, Многообразия Милнора строятся следующим образом: в качестве блоков берутся несколько экземпляров трубчатой окрестности Е 4k диагонали в произведении в качестве графа Тборется граф следующего вида: При этих условиях многообразие W4k(T). реализует квадратичную форму 8-го порядка, у которой на главной диагонали стоят двойки, а сигнатура равна 8. Для построения многообразий Кервера K4k+2 берутся два экземпляра блока, получающегося как трубчатая окрестность E4k+2 диагонали в произведении Склеиваются они так, что матрица пересечений имеет вид Крап многообразия Милнора дM4k (сферы Милнора) всегда недиффеоморфен стандартной сфере S4k-1;относительно многообразий Кервера этот вопрос до конца не решен (1978). Если то край многообразия Кервера дK4k+2 (сферы Кервера) всегда нетривиален, если же 2k+1 = 2i — 1, то для получится стандартная сфера S4k+1, для остальных iрешение неизвестно (см. Кервера инвариант). Многообразия Кервера K4k+2 размерности 2, 6, 14 представляют собой произведения сфер k=0,1, 3, с выкинутой открытой клеткой, а все другие многообразия Кервера не гомеоморфны произведениям сфер с выкинутой клеткой. В топологии многообразий часто используются PL -многообразия и полученные добавлением конуса над краем, соответственно, многообразий Милнора М 4k и многообразий Кервера K4k+2, а также два 4-мерных гладких многообразия — одно из них Wi(T)(Tне обязательно дерево) является параллелизуемым односвязным многообразием, край к-рого диффеоморфен 3-сфере, а сигнатура равна 16. Такое многообразие P4=W4(T)наз. многообразием (или плюм бингом) Рохлина. В известных примерах многообразий Рохлина минимальное значение двумерного числа Бетти равно 22. Другое многообразие есть W4 (Г), где Г — граф, указанный выше, в качестве блока берется трубчатая окрестность диагонали в произведении Край получающегося многообразия Q4= W4 (Г) есть неодносвязное додекаэдра пространство. Трехмерные Д. м. M3=дW4(T)принадлежат к так называемым многообразиям Зейферта. Не всякое 3-мерное многообразие является Д. м., и для Д. м. справедлива гипотеза Пуанкаре. В частности, 3-мерные линзовые пространства получаются от склейки только двух блоков. Лит.:[1] Кеrvaire M., "Comment, math, helv.", 1960, v. 34, p. 257-70; [2] Кеrvaire M., Milnоr J., "Ann. Math.", 1963, v. 77, № 3, p. 504-37; [3] Mилнор Д т.,"Успехи матем. наук", 1965, т. 20, в. 6, с. 41-54; [4] Нirzebruch F., Neumann W. D., Коh S. S., Differentieble manifolds and quadratic forms, N. Y., 1971; [5] Вrоwder W., Surgery on simply-conuected manifolds, В., 1972.M. А. Штанько.