Этимологический словарь Макса Фасмера
досуг
досу́г
род. п. досу́га, досу́жий, блр. досу́жы "проворный, заботливый", укр. досу́гий "пожилой, крепкий"; недосу́г; см. особенно Ляпунов, ОЛЯ 5, 68. Ср. еще др.-русск. просугъ "возможность, способность" (Домостр. К. 13), сербохорв. досег "граница", русск. досяга́ть.
Первонач. "то, что достигнуто". Слав. *dosǫgъ связано чередованием с *sęg-(cp. также прися́га), ст.-слав. сѩгнѫти "достигнуть"; см. Ляпунов, там же; Желтов, ФЗ, 1876, вып. 1, 22; Преобр. 1, 192; Горяев, ЭС 95. Неудачно сравнение Миклошича (Mi. EW 328) с лит. sáugoti, sáugoju "беречь, сохранять".