Дискриминантная Кривая

Обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка F(x, у, у')=0- множество точек ( х, у )плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению (р( х, у) = 0, получающемуся исключением у' из соотношений F=0 и F'y=O или исключением х' из соотношений G=0 и Gxr=0, где G( у, х, х') =F( х, у, х') (в предположении, что F'y существует). Если Д. к. для уравнения F=0 — непустое множество и не вырождается в отдельные точки, то она (или каждая ее ветвь) может:1) являться решением уравнения F=0, в каждой точ- ке которого нарушается единственность,- в таком случае Д. к. есть огибающая семейства интегральных кривых (напр., у=1 и у=-1 для уравнения у'2+у 2-1 = 0, рис. 1; у=0 для уравнения y'3-y2=0, рис. 2); 2) являться решением уравнения F=0, в каждой точке к-рого имеет место единственность (напр., y = 0 для уравнения y'2-y2=0, рис. 3); 3) не являться решением уравнения F=0, в таком случае Д. к. есть множество либо точек возврата интегральных кривых (например, x=0 для уравнения у'2 -х=0, рис. 4), либо точек прикосновения различных интегральных кривых (например, х=0 для уравнения у'2 -х 2=0, рис. 5). Рассматривается также уравнение F=0 в комплексной области, когда F- многочлен от у' (см., напр., [2], гл. II). Лит.:[1] Сансоне Дж., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с итал., т. 2, М., 1954; [2] Голубев В. В., Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, 2 изд., М.- Л., 1950. Я. X. Розов.