Дискретная Подгруппа

Подгруппа Г топологич. группы G(в частности, подгруппа группы Ли), являющаяся дискретным подмножеством топологич. пространства G. В локально компактных топологич. группах (в частности, в группах Ли) выделяют решетки — Д. п., для к-рых факторпространство имеет конечный объем в смысле меры, индуцированной левоинвариантной Хаара мерой на группе G. К числу решеток относятся равномерные Д. п., для к-рых факторпространство компактно. Если К- компактная подгруппа локально компактной топологич. группы G, то подгруппа дискретна тогда и только тогда, когда она является дискретной группой преобразований пространства X — G/К (в смыс-. ле действия, индуцированного естественным действием группы Gна X). При этом Г является решеткой (соответственно равномерной Д. п.) тогда и только тогда, когда факторпространство имеет конечный объем в смысле меры, индуцированной G-инвариантной мерой на X(соответственно компактно). Это дает возможность использовать при изучении Д. п. групп Ли геометрич. методы. Одна из основных задач теории Д. п. групп Ли — классификация таких подгрупп с точностью до соизмеримости. Подгруппы Г 1, Г 2 группы Gназ. соизмеримыми, если имеет конечный индекс как в Г 1, так и в Г 2. Если одна из соизмеримых подгрупп локально компактной топологич. группы является Д. п. (соответственно решеткой, равномерной Д. п.), то и другая обладает этим свойством. До середины 20 в. рассматривались в основном отдельные классы Д. п. групп Ли, обязанные своим происхождением арифметике, теории функций и физике. Исторически первая нетривиальная Д. п.- подгруппа SL2(Z) группы SL2(R), названная впоследствии модулярной группой Клейна — фактически рассматривалась Ж. Лагранжем (J. Lagrange) и К. Гауссом (С. Gauss) в их исследованиях по арифметике квадратичных форм от двух переменных. Ее естественным обобщением является подгруппа SLn(Z) группы SLn(R). Исследование этой группы как дискретной группы преобразований пространства положительно определенных квадратичных форм от ппеременных составило предмет теории приведения, разработанной А. Н. Коркиным, Е. И. Золотаревым, Ш. Эрмитом (Ch. Hermite),- Г. Минковским (Н. Minkowski) и др. во 2-й пол. 19 — начале 20 вв. Ряд арифметически определяемых Д. п. классич. групп Ли: группы единиц квадратичных форм с рациональными коэффициентами, группы единиц простых алгебр над Q, группу целочисленных симплетич. матриц — исследовал в 40-х гг. 20 в. К. Зигель (С. Siegel). Он, в частности, доказал, что все эти группы являются решетками в соответствующих группах Ли. В теории функций комплексного переменного интегрирование алгебраич. функций и, более общо, решение дифференциальных уравнений с алгебраич. коэффициентами привело к рассмотрению нек-рых специальных функций (названных впоследствии автоморфными функциями), инвариантных относительно различных дискретных групп, состоящих из преобразований вида Некоторые возникающие таким образом Д. п. группы SL2(R) были рассмотрены примерно в середине 19 в. в работах Ш. Эрмита, Р. Дедекинда (R. Dedekind) и И. Л. Фукса (I. L. Fuchs). Среди них была и группа SL2(Z) (но представленная другим образом, чем у Ж. Лагранжа и К. Гаусса). Обширный класс таких групп, в том числе группа SL2(g) и нек-рые соизмеримые с ней подгруппы группы SL2(R), был изучен Ф. Клейном (К. Klein). Почти одновременно, в 1881-82 А. Пуанкаре (Н. Poincare) дал геометрич. описание всех дискретных групп, состоящих из преобразований вида (1). Эти группы были им названы фуксовыми группами. В 1-й половине 20 в. рассматривались отдельные классы автоморфных функций многих переменных. Эти функции были связаны с некоторыми арифметически определяемыми Д. п. групп (SL2(R))k (модулярные функции Гильберта), Sp2n (R) (модулярные функции Зигеля) и других полупростых групп Ли. В кристаллографии начиная с конца 19 в. рассматривались группы симметрии кристаллич. структур, являющиеся не чем иным, как равномерными Д. п. группы движений трехмерного евклидова пространства. Эти и подобные им группы движений n-мерного евклидова пространства — так наз. кристаллографические группы- были изучены с алгебраич. точки зрения Л. Бибербахом (L. Bieberbach) в 1911. Он доказал, в частности, теорему о том, что всякая кристаллографич. группа содержит равномерную Д. п. группы параллельных переносов. Все эти исследования послужили исходным материалом для общей теории Д. п. групп Ли, основы к-рой были заложены в 50-60-е гг. 20 в. Построена исчерпывающая теория Д. п. нильпотентных групп Ли [9]. Ее основные утверждения: 1) Если Н- унипотентная алгебраич. группа, определенная над Q, то группа Н Z ее целых точек является равномерной Д. п. в группе HR ее действительных точек. (При этом Н R- односвязная нильпотентная группа Ли.) 2) Всякая равномерная Д. п. Г односвязной нильпотентной группы Ли Gарифметична в том смысле, что существуют унипотентная алгебраич. группа Н, определенная над Q, и изоморфизм j: такие, что подгруппа Г соизмерима с j( Н Z). 3) Если Г 1, Г 2 — равномерные Д. п. односвязных нильпотентных групп Ли G1, G2 соответственно, то всякий изоморфизм однозначно продолжается до изоморфизма 4) Абстрактная группа Г вкладывается в виде равномерной Д. п. в односвязную нильпотентную группу Ли тогда и только тогда, когда Г — конечно порожденная нильпотентная группа без кручения. Д. п. разрешимых групп Ли изучены достаточно хорошо, но результаты здесь не отличаются таким совершенством, как для нильпотентных групп. Всякая решетка в разрешимой группе Ли является равномерной Д. п. Если Г — решетка в односвязной разрешимой группе Ли G, то группа Gдопускает точное матричное представление, при к-ром элементы группы Г представляются целочисленными матрицами [13]. Это утверждение можно рассматривать как обобщение теоремы 2) Мальцева. Аналогом теоремы 4) является следующее утверждение. Всякая решетка в односвязной разрешимой группе Ли есть строго полициклическая группа;и обратно, всякая строго полициклич. группа обладает подгруппой конечного индекса, изоморфной решетке в односвязной разрешимой группе Ли. Наиболее тонкие результаты теории Д. п. групп Ли относятся к Д. п. неразрешимых и, в частности, полупростых групп Ли. В [4] доказана следующая теорема, включающая в себя в виде частных случаев теорему 1) Мальцева, Дирихле теорему о единицах поля алгебраич. чисел и упомянутые выше результаты Зигеля о нек-рых арифметич. Д. п. полупростых групп Ли. Пусть Н- линейная алгебраич. группа, определенная над Q. Для того чтобы подгруппа Н Z была решеткой в HR, необходимо и достаточно, чтобы группа Нне допускала рациональных гомоморфизмов на группу С*, определенных над Q (это условие, в частности, "выполняется, если группа Нполупроста или унипотентна). Для того чтобы подгруппа Н Z была равномерной Д. п. в HR, необходимо и достаточно, сверх этого, чтобы все унипотентные элементы группы HQ лежали в UQ, где U- унипотентный радикал группы Н. Аналогом теоремы 2) для Д. п. полупростых групп Ли является следующая теорема арифметичности [11]. Пусть Г — решетка в связной полупростой группе Ли G, не имеющей компактных множителей, и пусть (для удобства формулировки) центр группы Gтривиален. Пусть, кроме того, решетка Г неприводима в том смысле, что группа Gне может быть разложена нетривиальным образом в прямое произведение так, чтобы Г была соизмерима с подгруппой вида Г 1 ХГ 2, где Тогда, если вещественный ранг группы Gбольше единицы, подгруппа Г арифметична в том смысле, что существуют полупростая алгебраич. группа H, определенная над Q, и гомоморфизм j: (где — связная компонента единицы группы Н R )такие, что ядро гомоморфизма j компактно и подгруппа Г соизмерима с j(Н Z). Предположение о том, что вещественный ранг группы Gбольше единицы, существенно. Известно, что теорема неверна для группы PSL2(R) (группы движений плоскости Лобачевского), к-рая вообще играет особую роль в теории Д. п. групп Ли, а также [6], [8] для групп движений пространств Лобачевского размерностей 3, 4 и 5. Аналогом теоремы 3)для Д. п. полупростых групп Ли является следующая сильная теорема жесткости. Пусть Г 1, Г 2 — неприводимые решетки в связных полупростых группах Ли G1, G2, не имеющих компактных множителей, и пусть центры групп G1, G2 тривиальны. Тогда если группы G1, G2 не изоморфны PSL2(R), то всякий изоморфизм однозначно продолжается до изоморфизма (см. [10], [14]). Исторически доказательству этой теоремы предшествовало доказательство слабой теоремы жесткости [5] о продолжении изоморфизмов, достаточно близких к тождественному (в случае, когда G1 = G2). Из слабой теоремы жесткости вытекает, в частности, существование базиса, в к-ром элементы Д. п. записываются алгебраич. числами. Это обстоятельство сыграло важную роль в развитии теории Д. п. полупростых групп Ли. О Д. п. группы PSL2(R) см. Фуксова группа. Из других общих теорем о Д. п. полупростых групп Ли следует отметить теорему плотности Бореля и теорему максимальности Вана. Пусть Г — решетка в связной полупростой группе Ли, не имеющей компактных множителей. Тогда. Г плотна в Gв топологии Зариского [3] и содержится лишь в конечном числе решеток в группе G[17]. Описание решеток в произвольных группах Ли в известной степени сводится к описанию решеток в полупростых группах Ли благодаря теоремам, аналогичным упомянутой выше теореме Бибербаха о кристаллографич. группах. Говорят, что нормальная подгруппа Nгруппы Ли Gобладает свойством Бибербаха, если для любой решетки Г в группе Gподгруппа NT замкнута (и тогда автоматически — решетка в N, а — решетка в G/N). Теорема Бибербаха состоит в том, что в группе движений евклидова пространства подгруппа параллельных переносов обладает свойством Бибербаха. Существует обобщение этой теоремы на группы Ли, являющиеся расширением односвязной нильпотентной группы Ли при помощи компактной [1]. Другая теорема такого типа заключается в следующем. Пусть G- связная группа Ли, R- ее радикал, S- максимальная связная полупростая подгруппа, С- максимальная связная компактная нормальная подгруппа группы S;тогда подгруппа RC обладает свойством Бибербаха в G[2]. Известно также, что свойством Бибербаха обладают нильпотентный радикал связной разрешимой группы Ли [12] и коммутант односвязной нильпотентной группы Ли [9]. Топологпч. методами (см. Дискретная группа преобразований) доказывается, что всякая равномерная Д. п. связной группы Ли является конечно представимой группой [5]. В действительности всякая решетка в связной группе Ли конечно представима [17], [18]. Лит.:[1] Auslander L., "Amer. J. Math.", 19(31, v. 83, p. 276-80; [2] его же, там же, 1963, v. 85, p. 145 — 50; [3] Воrеl A., "Ann. Math.", 1960, v. 72, p. 179-88; [4] Борель A., Xapиш — Чандра, "Математика", 1964, т. 8, № 2, с. 19-71; [5] Вейль А., там же, 1963, т. 7, № 1, с. 3-41; [6] Винберг Э. В., "Матем. сб", 1967, т. 72. .№ 3, с. 471 -88 [7] Garland H., Raghunathan M. S., "Ann. Math.", 1970, v. 92, p. 279-326; [8] Макаров В. С, "Докл. АН СССР", 1966, т. 167, № 1, с. 30 — 33; [9] Мальцев А. И., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1949, т. 13, № 1, с. 9 — 32; [10] Маргулис Г. А., "Успехи матем. наук", 1974, т. 29, >Г" 1, с. 49-98; [11] Маrgulis G. A., Discrete groups of motions of manifolds of non-positive curvature, в кн.: Congres International des Mathematiques, Vancouver, 1974; [12] Mоstоw G. D., "Ann. Math.", 1954, v. 60, p. 1-27; [13] его же, "Amer. J. Math.", 1970, v. 92, p. 1-32; [14] его же, Strong rigidity of locally symmetric spaces, N.Y., 1973; [15] Рагунатан М., Дискретные подгруппы групп Ли, пер. с англ., М., 1977; [16] Сельберг А., "Математика", 1962, т. 6, № 3, с. 3-15; [17] Wang H.-C, "Amer. J. Math.", 1967, v. 89, p. 124 — 32; [18] его же, в кн.: Symmetric Spaces, N. Y., 1972, p. 459-87. Э. В. Винберг.