Дирака Уравнение

Релятивистское волновое уравнение, играющее фундаментальную роль в релятивистской квантовой механике и квантовой теории поля. Д. у. применяется для описания частиц со спином 1/2 (в единицах ); то есть электронов, нейтрино, мюонов, протонов, нейтронов и др., а также позитронов и всех др. античастиц и гипотетических субчастиц — кварков. Д. у. является основой теории частиц полуцелого спина (1/2, 3/2, 5/2 и т. д.), то естьфермионов, к-рые подчиняются Ферми статистике. Напр., обобщением Д. у. для частиц спина 3/2 является Рарита — Швингера уравнение. Д. у. есть система четырех линейных однородных дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка с постоянными комплексными коэффициентами, инвариантная относительно общей группы преобразований Лоренца: где то — масса покоя, х а=х а, х 1, х 2, x3 ОR с псевдоевклидовой метрикой ( х, y)=habdxaxadyb, a- метрический тензор пространства Минковского с сигнатурой +2; y- Дирака спинор (биспинор):ga=g0, g1, g2, g3- Дирака матрицы. При преобразованиях переменных из общей группы Лоренца — Пуанкаре х'a=L (х a )(см. [2]) биспинор y преобразуется по формуле y'(x')=S(L)y(x), где S(L)- неособенная комплексная матрица размерности S-матрицы образуют специальное двузначное представление группы L. Д. у. относительно новых переменных y'( х'a )не изменяет своего вида (релятивистская инвариантность): Случай m=0 дает уравнение Вейля, описывающее нейтрино. При этом Д. у. разбивается на два независимых уравнения для спинорных функций (спиноров Ван дер Вардена) j=(y1, y2 )и c=(y3, y4)- Каждое из них будет не инвариантным относительно отражений (теория с несохраненпем четности). Любое решение Д. у. удовлетворяет Клейна- Гордона уравнению, описывающему бесспиновые скалярные частицы но не всякое решение этого уравнения удовлетворяет Д. у., к-рое получается факторизацией уравнения Клейна — Гордона. Из Д. у. следует факт наличия у электрона собственного механического спинового момента Д. у. полностью описывает движение атомных электронов в поле ядра и в других электромагнитных полях, а также взаимодействие электрона с известными элементарными частицами. Любое релятивистски инвариантное уравнение можно представить в форме Д. у.: где Г a- обобщение ga. Для уравнения Клейна — Гордона функция yимеет 5 компонент, а Г a- 4 пятирядные матрицы, удовлетворяющие соотношениям (Дуффина — Кеммера матрицы). Подобно тому как взаимодействие фермионов с электромагнитным полем учитывается в Д. у. заменой производной д/дх а на компенсирующую производную д/дхa-iAa(Aa-4-потенциал электромагнитного поля), учет взаимодействия фермионов с гравитационным полем в соответствии с общей теорией относительности приводит к обобщению Д. у. на риманово пространство введением соответствующей компенсирующей (ковариантной) производной (см. [3]): где С a- спинорные коэффициенты связности, определенные сначала с помощью тетрадного формализма, удовлетворяющие соотношениям — символы Кристоффеля. Общерелятивистское обобщение Д. у. необходимо при исследовании гравитационного коллапса, при описании предсказываемого эффекта рождения частиц в сильных гравитационных полях и др. В пространстве с кручением в Д. у. возникает нелинейный добавок кубического типа (см. [4]) и оно переходит в нелинейное уравнение где g=ig5, l2=3pGh/c3, G- гравитационная постоянная. Уравнение установлено П. Дираком (P. Dirac, 1928). Лит.:[1] Дирак П. А. М., Принципы квантовой механики, пер. с англ., М., 1960; [2] Боголюбова Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 2 изд., М., 1976; [3] Новейшие проблемы гравитации, пер. с англ., М., 1961; [4] Родичев В. И., "Ж. эксперим. и теор. физ.", 1969, т. 40. В. Г. Кречет.