Дини — Липшица Признак

Если непрерывная 2p-периодич. функция f(x)удовлетворяет условию где w(d, f) — модуль непрерывности функции f(x), то ее ряд Фурье равномерно сходится к ней на всей числовой оси. Д.- Л. п. доказан У. Дини |1], а в частном случае, когда w(d, f)=O(da),при каком-либо он установлен Р. Липшицем [2]. Утверждение Д.- Л. п. окончательно в следующем смысле. Если со (d) — произвольный модуль непрерывности, удовлетворяющий условию то существует непрерывная 2p-периодич. функция f0(x), ряд Фурье которой расходится в некоторой точке, а модуль непрерывности w(d, f0) удовлетворяет условию w(d, f0)=O(w(d)). Лит.:[1] Din i.U., Sopra la serie di Fourier, Pisa, 1872; [2] Lipschitz R., "J. reine und angew. Math., 1864, Bd 63, № 2, S. 296-308; [3] Lebesgne H., "Bull. Soc. math. France" 1910, t. 38, p. 184-210; [4] Hикольский С. М., "Докл. АН СССР", 1950, т. 73, № 3, с. 457 — 60; [5] Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961. В. И. Голубое.