Дифракции Математическая Теория

Раздел математич. физики, в к-ром изучаются задачи, возникающие при математич. описании волновых явлений. Такое определение Д. м. т. включает и геометрич. оптику, к-рую, однако, по традиции считают самостоятельным разделом математич. физики. Основные уравнения с частными производными, описывающие волновые процессы,- это Максвелла уравнения, уравнения динамических задач теории упругости, волновое уравнение (к-рое в случае двух пространственных переменных описывает колебания мембраны, а в случае трех пространственных переменных — распространение звука), уравнения гидродинамики и ряд других. Постановка задач Д. "Доведение до числа" явных решений задач Д. м. т. удавалось ранее лишь в длинноволновом случае (чем меньше длина волны, тем хуже сходятся ряды и интегралы). С развитием вычислительной техники стали поддаваться расчету многие задачи и в области, когда длина волны сравнима с характерными размерами неоднородности. Наиболее эффективными здесь являются методы сведений задач дифракции к интегральным и интегродифференциальным уравнениям и различные варианты проекционных методов. Асимптотические методы Д. м. т. При малой длине волны численное решение дифракционной задачи весьма затруднительно, даже с использованием ЭВМ. Здесь на первый план выступают асимптотич. методы, к-рые представляют интерес еще и тем, что позволяют делать нек-рые общие заключения о рассматриваемой задаче. Под асимптотическими методами Д. м. т. понимаются нек-рые приемы нахождения приближенного выражения для искомых функций. Приемы эти базируются на физич. соображениях и формальных преобразованиях, чаще всего строго не обоснованных. Одним из первых приемов, позволяющих находить в виде нек-рой квадратуры приближенные решения коротковолновых задач дифракции, был Кирхгофа метод, широко применяющийся и теперь при решении прикладных задач. Не менее важное значение имеет лучевой метод, породивший целую серию приемов, позволяющих находить асимптотику многих дифракционных задач. Построения лучевого метода, как правило, бывает нетрудно провести, если соответствующее поле лучей регулярно. Если же оно имеет какие-либо особенности, то возникает ситуация, характерная для пограничного слоя теории:везде, кроме нек-рой весьма малой окрестности тех точек, где поле лучей теряет регулярность, асимптотика решений известна. Нужно найти ее только в этой малой области, т. е. в пограничном слое. Соответствующий аналог методики пограничного слоя получил название параболического уравнения метода. Он часто используется как для численного решения задач Д. м. т., так и для вывода асимптотич. формул. Важные асимптотич. формулы для решения задач Д. м. т. могут быть получены в тех случаях, когда известно явное выражение для решения. Это явное решение по хорошо разработанной уже методике (так наз. метод Ватсона) преобразуют в контурный интеграл, асимптотика к-рого ищется либо применением перевала метода, либо теоремы о вычетах. Представляет интерес тот факт, что полученные на этом пути асимптотич. выражения иногда могут быть использованы как образец ("эталон"), при помощи к-рого можно "угадывать" вид асимптотич. разложения в дифракционных задачах, явное решение к-рых неизвестно. Именно такие построения характерны для "метода эталонных задач", к-рый является дальнейшим развитием метода параболич. уравнения. Лит.:[1] Бабич В. М., Вулдырев В. С, Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн, М., 1972; [2] Вайнштейн Л. А., Теория дифракции и метод факторизации, М., 1966; [3] Никольский В. В., Вариационные методы для решения внутренних задач электродинамики, М., 1967; [4] Купрадзе В. Д., Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения, М.-Л., 1950; [5] Купрадзе В.