Дифференцируемое Многообразие

Локально евклидово пространство, наделенное дифференциальной структурой. Пусть X- хаусдорфово топологич. пространство. Если для каждой точки хО X найдется ее окрестность U, гомеоморфная открытому множеству пространства Rn, то Xназ. локально евклидовым прост ранством, или топологическим многообразием размерности п. Пара (U,j), где j — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой Xв точке х. Таким образом, каждой точке соответствует набор пдействительных чисел ( х 1, . .., х п), называемых координатами x в карте (U,j). Семейство карт , aОA, наз. п-мерным С k -атласом (, а)многообразия X, если: а) совокупность всех Ua покрывает X,б) для любых таких, что отображение принадлежит дифференцируемости классу Ck;jab является дифференцируемым отображением с отличным от нуля якобианом и наз. преобразованием координат точки хиз карты (Ua,ja) в карту (Ub,jb). Два Ck -атласа наз. эквивалентными, если их объединение снова является С k -атласом. Совокупность Ck -атласов разбивается на классы эквивалентности, к-рые наз. Ck- структурами, при — дифференциальными (или гладкими) структурами, при k=а — аналитическими структурами. Топологич. многообразие X, наделенное Ck -структурой, называется Ck -м ногообразием, или дифференцируемым многообразием класса Ck. Понятие дифференциальной структуры можно ввести для произвольного множества X, заменив гомеоморфизмы ja биективными отображениями на открытые множества Rn; при этом топология Ck -многообразия описывается как топология объединения, построенная по любому атласу соответствующей структуры. В этом случае n-мерные многообразия обладают очевидной re-мерной C0 -структурой. Задачи аналитич. и алгебраич. геометрии приводят к необходимости рассматривать в определении дифференциальной структуры вместо пространства Rn более общие пространства Cn или даже Kn, где К- полное недискретное нормированное поле. Так, в случае К = С соответствующая Ck -структура, непременно оказывается Ca -структурой, она наз. комплексно аналитической, или просто комплексной, а соответствующее Д. м.- комплексным многообразием. При этом на любом таком многообразии есть и естественная действительная С а -структура. На любом С а -многообразии есть согласованная с ней С°°-структура, и на Ck -многообразии, — С r -структура, если Обратно, любое паракомпактное Cr -многообразие, можно наделить С а -структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма, см. ниже) единственна. Может, однако, случиться, что С-многообразие нельзя снабдить C1 -структурой (т. е. существуют несглаживаемые многообразия), а если это удается, то такая структура неединственна. Например, число q(n) С 1 -неизоморфных -структур на n-мерной сфере таково: Пусть f :- непрерывное отображение С r- многообразий X, У; оно наз. Ck- морфизмом (или Ck- отображение м или отображением класса Ck). Д. м., если для любой пары карт {Ua, ja )на Xи (Vb , yb) на У такой, что f(Ua)Vb. отображение принадлежит классу С k. Биективное отображение f такое, что оно и f-1 суть С n -отображения, наз. С п- изоморфизмом (или диффеоморфизмом класса С n. В этом случае Xи У и определяющие и: С-структуры наз. С n -изоморфными. Подпространство У n-мерного С k -многообразия X наз. С k- подмногообразием размерности пв X, если для всякой точки существуют ее окрестность и карта (U, ф) С k -структуры Xтакие, что и ф индуцирует гомеоморфизм Vна пересечение j(UЗY). с (замкнутым) подпространством другими словами, существует карта с координатами х 1, . .., х п такая, что определяется соотношениями х т+1 = ... = х n = 0. Отображение f :наз. С k -вложением, если f(X)есть С k -подмногообразие в У, а — С k -диффеоморфизм. Всякое n-мерное С k -многообразие допускает вложение в R2n+1 и даже в R2n. Более того, множество таких вложений является всюду плотным в пространстве отображений С k( Х,R2n+1) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение Д. м. как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изложения их теории, на этом пути устанавливаются, напр., указанные выше теоремы о Ca -структурах. В топологии Д. м., иначе наз. дифференциальной топологией,- две основные проблемы. Первая — задача классификации Д. м. Существуют три основных класса Д. м.- замкнутые, компактные многообразия с краем и открытые. Важными инвариантами, различающими Д. м., являются гомотопический тип и касательное расслоение, в частности характеристические классы. С их помощью проведена классификация гладких структур для односвязных многообразий данного гомотопич. типа. С помощью другого инварианта — класса бордизма Д. м.- решена обобщенная Пуанкаре гипотеза, изучены неподвижные точки при действии группы на многообразии и т. д. При этом потребовалось введение дифференциальных структур на многообразиях с краем и аппарата сглаживания. Наконец, полезными здесь оказываются методы алгебраич. топологии, поскольку, напр., установлена триангулируемость произвольного С' -многообразия. Вторая — задача классификации отображений Д. м. Прежде всего здесь выделяются классы иммерсий, или погружений, обобщающих вложения; их классификация сведена к гомотопич. задаче в отличие от вложений, полная классификация к-рых не получена (1978) (см. Топология вложений), и субмерсий, или расслоений, одного Д. м. в (на) другое. Важную роль, в частности, в вопросах устойчивости (стабильности) и в исследовании типичных особенностей отображений играет понятие трансверсальности отображения вдоль подмногообразия. Существование трансверсальных отображений обеспечивается теоремами типа Сарда теоремы. Все это, а также задачи дифференциальной динамики, изучающей строение различных групп диффеоморфизмов, в частности интегральных траекторий и особых точек векторных полей на Д. м. (динамических систем), и различные отношения эквивалентности: изотопия, топологическая и С k -сопряженность и т. подиктует необходимость рассмотрения, наряду с конечномерными пространствами Rn, произвольных банаховых (или гильбертовых) пространств и определения соответствующих дифференциальных структур. При этом требуется выполнение разумных в отношении приложений дополнительных условий, напр. Д. м. отделимо тогда и только тогда, когда преобразования координат имеют замкнутый график. Получающиеся наделением такой структурой, вообще говоря, бесконечномерные многообразия, соответственно именуемые банаховыми (или гильбертовыми) многообразиями, типичным примером к-рых служат многообразия отображений конечномерных Д. м., оказываются полезным средством исследования и геометрич. интерпретацией задач аппроксимации отображений (как в указанной выше теореме вложения), анализа петель пространства- надлежащей области для построения теории Морса и т. д. Д. м. являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. Там на Д. м. вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — ориентации, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, к-рые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру. С другой стороны, использование той или иной структуры позволяет исследовать строение самого Д. м. Простейший пример — выражение характеристич. классов через кривизну Д. м., наделенного линейной связностью. Лит.:[1] Понтрягин Л. С, Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976; [2] Бурбаки Н., Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов, пер. с франц., М., 1975; [3] д е Рам Ж., Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956; [4] Ленг С, Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967; [5] Рохлин В. А., Фукс Д. В., Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977; [6] Уитни X., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960; [7] Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971; [8] Нарасимхан Р., Анализ на действительных и комплексных многообразиях, пер. с англ.. М., 1971; [9] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976; [10] Голубицкий М., Гийемин В., Устойчивые отображения и их особенности, пер. с англ., М., 1977; [11] Брекер Т., Ландер Л., Дифференцируемые ростки и катастрофы, пер. с англ., М., 1977; [12] Нитецки З., Введение в дифференциальную динамику, пер. с англ., М., 1975; 113] Стернберг С, Лекции по дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1970; [14] Годбийон К., Дифференциальная геометрия и аналитическая механика, пер. с франц., М., 1973; [15] Зуланке Р., Винтген П., Дифференциальная геометрия и расслоения, пер. с нем., М., 1975. См. также лит. при статье Дифференциальная топология. М. И. Войцеховский.