Дифференциалов Модуль

Модуль Кэлеровых дифференциалов,- алгебраический аналог понятия дифференциала функции. Пусть А- коммутативное кольцо, рассматриваемое как алгебра над своим подкольцом В. Д. м. В-алгебры А определяется как фактормодульхW1A/B. свободного A-модуля с базисом по подмодулю, порожденному элементами вида где х,,Канонич. гомоморфизм Л-модулейd: A->W1A/B является B-дифференцированием кольца А(см. Дифференцирование кольца) со значением в A-модуле W1A/B, обладающим следующим свойством универсальности: для любого B-дифференцирования д: А->Мсо значением в А-модуле Мсуществует однозначно определенный гомоморфизм А-модулей такой, что Соответствие определяет изоморфизм А-модулей В частности, модуль дифференцирований кольца Ав себя изоморфен двойственному A-модулю к модулю W1A/B. Если рассматривать как A-алгебру относительно гомоморфизма и I — идеал, порожденный элементами вида то A-модуль изоморфен A-модулю I/I2. Д. м. W1. обладает следующими свойствами: 1) Если S- мультипликативно замкнутое множество в А и то существует канонич. изоморфизм локализации2) Если j: — гомоморфизм B-алгебр, то определена каноническая точная последовательность А'- модулей:3) Если I — идеал кольца Аи A' = AlI, то существует каноническая точная последовательность A'-модулей: где гомоморфизм d' индуцирован дифференцированием d:4) Поле Кявляется сепарабельным расширением поля kконечной степени трансцендентности пв том и только в том случае, когда существует изоморфизм K-пространств 5) Если А=В[ Т 1, ..., Т n]- алгебра многочленов, то W1A/B свободный A-модуль с базисом dT1, . .., dTn.6) Алгебра А конечного типа над совершенным полем кйвляется регулярным кольцом тогда и только тогда, когда A-модуль проективен.7) В свойстве 2) А-алгебра Л' конечного типа является гладкой над А тогда и только тогда, когда гомоморфизм а инъективен, а Д. м.проективен и его ранг равен относительной размерности А' над A. Внешняя степень Д. м. наз. модулем дифференциальных i-форм В-алгебры А и обозначаетсяWiA/B Свойство 1) позволяет для любого морфизма схем определить пучок относительных (или кэлеро'вых) дифференциалов и их внешние степени WiX/Y. Лит.:[1] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972; L2j Grothendieck A., Bevetements etales ct groupe fondamentale, В.-Hdlb.-N. Y., 1971; [3] его же, "Publ. math. IHES", 1964, № 2(1; [4] Kahler E., Algebra und Differentialrechnung, В., 1958. И. В. Долгачее.