Дифференциальный Инвариант

Выражение, составленное из одной или нескольких функций, Их частных производных по независимым переменным различных порядков, а иногда и дифференциалов этих переменных, инвариантных относительно того или иного преобразования. Пусть в дифференцируемом многообразии Х n элементом к-рого является точка (u1, и 2, ..., и n), задан геометрический объект Q(см. Геометрических объектов теория). Геометрич. объект со того же многообразия наз. дифференциальным инвариантом порядка готносительно объекта Q, если его координаты wA, А = 1,2, ..., N, являются функциями координат Wa, а=1, 2, ..., М, объекта W. и их частных производных по координатам uii=1, 2, . . ., п, до порядка и обладают следующим свойством инвариантности относительно нек-рого преобразования координат, Именно, при замене координат новые координаты w'A объекта со выражаются через новые координаты W'A объекта w. и их частные производные по новым координатам — теми же самыми функциями fA: Пусть, напр., W- объект линейной аффинной связности (без кручения). Объект со (тензор кривизны): есть тензорный Д. и. порядка 1 относительно Кристоффеля символов Пусть в Х п задана группа (псевдогруппа) Gточечных преобразований и Mh — подмногообразие Х п размерности h: параметры к-рого подвергаются преобразованиям бесконечной группы G: Геометрическим дифференциальным инвариантом порядка rмногообразия М h относительно группы (псевдогруппы), Gназ. функцию координат и' точки Mh и их частных производных до порядка r по параметрам ta: обладающую свойством инвариантности относительно преобразований (1) и (2). Именно, если в (3) заменить и i по формулам (1), а частные производные от и i по ta.- их выражениями через частные производные от по то получается та же функция Fот и i и их производных по Если координаты и i однородны, то функция Fдолжна быть также инвариантна относительно преобразований В определении геометрич. Д. и. функцию Fможно заменить геометрич. объектом. Если этот объект — ковариантный (контравариантный) вектор, то его наз. ковариантом (контраварианто м). Если инвариантно обращение в нуль нек-рого объекта, то его наз. относительным дифференциальным инвариантом. Лит.:[1] Thomas T. Y., The differential invariants of generalized spaces, Camb., 1934; [2] Weitzenboch R., Jnvarianten-theorie, Groningen, 1923. В, И. Шуликовспий.