Дифференциальное Исчисление

Раздел математики, в к-ром изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Развитие Д. и. тесно связано с развитием интегрального исчисления. Неразрывно и их содержание. Вместе они составляют основу математич. анализа, имеющего чрезвычайное значение для естествознания и техники. Основной предпосылкой для создания Д. и. явилось введение в математику переменных величин (Р. Декарт, R. Descartes). В общих чертах построение дифференциального и интегрального исчислений было завершено в трудах И. Ньютона (I. Newton) и Г. Лейбница (G. Leibniz) к концу 17 в., однако вопросы обоснования с помощью понятия пре- дела были разработаны О. Коши (A. Couchy) лишь в начале 19 в. Создание дифференциального и интегрального исчисления явилось началом периода бурного развития математики и связанных с ней прикладных наук. Под Д. и. обычно понимают классич. Д. и., в к-ром рассматриваются действительные функции одного или нескольких действительных переменных, хотя в современном толковании может идти речь и о Д. и. в абстрактных пространствах. Д. и. основано на понятиях действительного числа, функции, предела и непрерывности- важнейших понятий математики, сформировавшихся и получивших современное содержание в процессе развития математич. анализа и работы над его обоснованием. Центральные понятия Д. и.- производная и дифференциал- и разработанный в Д. и. аппарат, связанный с ними, доставляют средства для исследований функций, локально сходных . с линейной функцией или многочленом, а именно такие функции в первую очередь интересны для приложений. Производная. Пусть функция y=f(x). определена в нек-рой окрестности точки х 0,есть приращение аргумента, Dy=f(x0+Dx)-f(x0).- соответствующее приращение функции. Если существует (конечный или бесконечный) предел то он наз. производной функции f(x). в точке х 0 и обозначается у', у' х, Итак, по определению, Операция вычисления производной наз. дифференцированием. Если f'( х 0)- конечна, функция f(x). наз. дифференцируемой в точке х 0. Функция, дифференцируемая в каждой точке нек-рого промежутка, наз. дифференцируемой в.