Дифференциал

I

Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие)

в математике, главная линейная часть приращения функции. Если функция y = f (x) одного переменного х имеет при х = х0 производную, то приращение

Δy = f (x0 + Δx) — f (x0)

функции f (x) можно представить в виде

Δy = f' (x0) Δx + R,

где член R бесконечно мал по сравнению с Δх. Первый член

dy = f' (x0) Δх

в этом разложении и называется дифференциалом функции f (x) в точке x0. Из этой формулы видно, что дифференциал dy линейно зависит от приращения независимого переменного Δx, а равенство

Δy = dy + R

показывает, в каком смысле Д. dy является главной частью приращения Δy.

Подробнее о Д. функций одного и нескольких переменных см. Дифференциальное исчисление.

Обобщение понятия дифференциала. Обобщение понятия Д. на вектор-функции, начало которому положили в начале 20 в. французские математики Р. Гато и М. Фреше, позволяет лучше выяснить смысл понятия «дифференциал» для функций нескольких переменных, а в применении к Функционалам приводит к понятию вариации, лежащему в основе вариационного исчисления (См. Вариационное исчисление).

Важную роль в этом обобщении играет понятие линейной функции (линейного отображения). Функция L (x) векторного аргумента х называется линейной, если она непрерывна и удовлетворяет равенству

L (x' + х'') = L (x') + L (x'')

для любых х' и х'' из области определения. Линейная функция n-мерного аргумента х = {x1,..., xn} всегда имеет вид

L (x) = a1x1 +... + anxn,

где a1,..., an — постоянные. Приращение

ΔL = L (x + h) — L (x)

линейной функции L (x) имеет вид

ΔL = L (h),

т. е. зависит только от векторного приращения h, и притом линейно. Функция f (x) называется дифференцируемой при значении аргумента х, если её приращение Δf = f (x + h) — f (x), рассматриваемое как функция от h, имеет главную линейную часть L (h), т. е. выражается в виде

Δf = L (h) + R (h),

где остаток R (h) при h → 0 бесконечно мал по сравнению с h. Главная линейная часть L (h) приращения Δf и называется дифференциалом df функции f в точке x. При этом в зависимости от того, в каком смысле понимается бесконечная малость R (h) по сравнению с h, различают слабый дифференциал, или дифференциал Гато, и сильный дифференциал, или дифференциал Фреше. Если существует сильный Д., то существует и слабый Д., равный сильному Д. Слабый Д. может существовать и тогда, когда сильный не существует.

В случае f (x) ≡ x из общего определения следует, что df = h, т. е. можно приращение h считать Д. аргумента x и обозначать dx.

Если сделать теперь переменной точку x, в которой определяется Д. df, то он будет функцией двух переменных:

df (x; h).

Далее, считая h = h1 постоянным, можно найти Д. от дифференциала df (x; h1) как главную часть приращения

df (x + h2; h1) — df (x; h1),

где h2 — некоторое второе, не связанное с h1 приращение x. Получаемый таким образом второй дифференциал d2f = d2f (x; h1, h2) является функцией трёх векторных аргументов x, h1 и h2, линейной по каждому из двух последних аргументов. Если d2f непрерывно зависит от x, то он симметричен относительно h1 и h2:

d2f (x; h1, h2) = d2f (x; h2, h1).

Аналогично определяется дифференциал dnf = dnf (x; h1,..., hn) любого порядка n.

В вариационном исчислении сам векторный аргумент x является функцией x (t), а дифференциалы df и d2f функционала f [x (t)] называются его первой и второй вариациями и обозначаются δf и δ2f.

Всюду выше речь шла об обобщении понятия Д. на числовые функции векторного аргумента. Существует обобщение понятия Д. и на случай вектор-функций, принимающих значения в банаховых пространствах.

Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 2 изд., М., 1967; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, М., 1970; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; Дьедонне Ж., Основы современного анализа, пер. с англ., М., 1964.

А. Н. Колмогоров.

II

Дифференциа́л

Дифференциальный механизм в приводе ведущих колёс автомобиля, трактора или др. транспортных машин. Д. обеспечивает вращение ведущих колёс с разными относительными скоростями при прохождении кривых участков пути.