Диффеоморфизм

Дифференцируемый гомеоморфизм, гладкий гомеоморфизм,- взаимно однозначное и непрерывно дифференцируемое отображение дифференцируемого многообразия М(напр., области в евклидовом пространстве) в. дифференцируемое многообразие N, обратное к к-рому тоже является непрерывно дифференцируемым. Если f(M) = N, то говорят, что Ми Nдиффеоморфны. С точки зрения дифференциальной топологии, диффеоморфные многообразия имеют одинаковые свойства, и она интересуется классификацией многообразий с точностью до Д. (последняя не совпадает с более грубой классификацией с точностью до гомеоморфизма, исключая случаи малых размерностей). Хотя сам термин "Д." был введен сравнительно недавно, фактически многочисленные преобразования и замены переменных, давно используемые в математике, являются Д., а многие семейства преобразований — группами Д. В частности, это относится к Д., сохраняющим ту или иную дополнительную структуру на многообразии (напр., контактную, симплектическую, конформную или комплексную). Исторически такие Д. в ряде случаев получили особые названия (в указанных примерах — контактные преобразования и канонические отображения, конформные отображения и биголоморфные отображения), вместо к-рых в последнее время (70-е гг. 20 в.) нередко употребляют термин "Д." с добавлением прилагательного, характеризующего сохраняемую структуру (напр., "симплектический Д." вместо "канонического преобразования"). Изучались и топологические (точнее, гомотопические) свойства группы Diff M всех Д. многообразия Мна себя, в к-рой надлежащим образом введена топология. Они могут быть неожиданно сложными (см., напр., [1], где имеются также обзор и библиография). Этот вопрос связан с рядом важных задач гомотопич. топологии (напр., с гомотопич. группами сфер). В принципе знание свойств DiffAf помогло бы в решении этих задач, однако в настоящее время (1978) ситуация является скорее обратной: продвижение в изучении DiffAf связано как раз с использованием того, что уже известно об этих задачах, или, в лучшем случае, осуществляется параллельно с их решением и при помощи тех же методов. Относительно алгебраич. свойств группы Д. класса С r (случай не исключается) замкнутого n-мерного многообразия доказано, что при ее связная компонента единицы является простой группой, т. е. не имеет нетривиальных нормальных делителей (см. [2], [3]; при r=n+1 ситуация не выяснена). Для незамкнутого re-мерного многообразия Мдоказана простота группы всех тех Д. f класса С r(), к-рые можно соединить с тождественным отображением 1 М; посредством непрерывного семейства Д. ft (, f0=1M; f1=f), не сдвигающего точек вне нек-рого компакта (зависящего от этого семейства). Лит.:[1] Antоnеlli P. L., Вurghеlеa D., Кahn P. J., "Topology", 1972, v. 11, № 1, p. 1-49; [2] Тhurston W., "Bull. Аmer. Math. Soc", 1974, v. 80, №2. p. 304 — 307; [3] Mather J. N.. "Comment, math, helf.", 1974, v. 49, № 4, p. 512 — 28; 1975, v. 50, № 1, p. 33 — 40. Д. В. Аносов. У- — диффеоморфизм, порождающий У-систему.