Диезная Форма

R-мерная дифференциальная форма со в открытом подмножестве такая, что конечны комасса |w|0 икомассовая константа Липшица где р,и |р-q|- длина вектора р-q. Диезной нормой формы w наз. число Теорема Уитни. Каждой r-мерной диезной коцепи Xв Rсоответствует единственная r-мерная Д. ф. sX, для которой для всех r-мерных ориентированных симплексов sr;.sX (р). определяется формулой где s1, s2, . ..- последовательность расположенных в одной и той же плоскости симплексов, содержащих точку р, диаметры к-рых Это соответствие является взаимно однозначным линейным отображением пространства коцепей в пространство Д. ф., причем: , т. е. комассе X; т. е. константе Липшица X; т. е. диезной норме X; является банаховым пространством. В частности, нульмерным диезным коцепям соответствуют диезные функции — ограниченные функции, удовлетворяющие условию Липшица. Пространство r-мерных диезных цепей Аконечной массы |А| с диезной нормой изоморфно пространству аддитивных функций множества, значениями к-рых являются r-векторы g, наделенному диезной нормой это соответствие определяется формулой: для любой коцепи X, где wX есть r-мерная Д. ф., соответствующая коцепи X, и имеет место: gA( Е п)= , т. е. ковектору цепи А, |А| = |уА|, т. е. полной вариации g А, т. е. диезной норме цепи А. Таким образом, (*) является обобщением обычного интеграла Лебега — Стилтьеса. В частности, для Атогда и только тогда существует измеримая по Лебегу суммируемая функция a(р), ассоциированная с А(см. Бемольная форма), то есть для любой коцепи X, если gA абсолютно непрерывна. Если wX- регулярная форма, X- диезная коцепь, то существует форма wdX=dwX имеет место формула Стокса Аналогично обобщаются и другие результаты, установленные для регулярных форм. Лит. см. при статье Бемольная форма. М. И. Войцеховский.