Дедекиндова Решетка

Дедекиндова структура, модулярная решетка (структура),- решетка, в к-рой справедлив модулярный закон, т. е. влечет (a+b)c=а+bс для всякого Ь. Высказанное требование равносильно справедливости тождества ( ас+b) с=ас+bс. Примерами Д. р. служат решетки подпространств линейного пространства, нормальных делителей (но не подгрупп) группы, идеалов кольца и др. Решетка, имеющая композиционный ряд, является Д. р. тогда и только тогда, когда на ней существует функция размерности d, т. е. такая целочисленная функция, что d(x+y)+d(xy) = d(x)+d(y)и что из простоты интервала [a, b]вытекает d(b)=d(a)+l. Если w=a1(1)... а m1(1)=а 1(2)... am2(2), каждый из элементов а i(k) не представим в виде произведения отличных от него элементов и то т 1 = т2 и для всякого а (1)i найдется такой элемент a(2)j, что (см. [3], [6]). Ненулевые элементы a1, ..., а n из Д. р. с нулем 0 называются независимыми, если (а 1+ ... + ai-1+ai+1+ ... +an)ai = 0 для всех г. Это определение позволяет обобщить многие свойства линейно независимых систем векторов (см. [3], [5], [6]). Если а 1,..., а п независимы, то их сумма обозначается как Теорема Оре: если Д. р. имеет композиционный ряд и причем каждый из элементов а (k)i не представляется в виде суммы двух независимых элементов, то m1=m2 и для всякого а (i)i найдется такой элемент a(2)j, что и (см. [3], [6]). В случае полных Д. р., подчиненных нек-рым дополнительным требованиям, теоремы о независимых элементах и прямых разложениях можно распространить на беоконечные множества (см. [4], [5]). Исследовались Д. р. с дополнениями, то есть Д. р. с 0 и 1, для каждого элемента хк-рых существует хотя бы один такой элемент у(наз. дополнением элемента х), что х+у=1, ху=0. Д. р. с дополнениями, обладающая композиционным рядом, изоморфна Д. р. всех подпространств конечномерного линейного пространства над нек-рым телом. Полная Д. p. Lс дополнениями изоморфна Д. р. всех подпространств линейного пространства (не обязательно конечномерного) над нек-рым телом тогда и только тогда, когда: а) если то найдется атом. б) если р- атом и где то для нек-рого конечного множества ;в)если р, q- атомы, то найдется атом причем q;. г) существует не менее трех независимых атомов. Условие г) можно заменить требованием справедливости Дезарга предложения (см. [2]). Дальнейшее обобщение этого результата, приводящее к регулярным кольцам (см. [7], [5]), смыкается с теорией алгебр Неймана. Для Д. р. с композиционным рядом наличие дополнений равносильно представимости единицы в виде суммы атомов. Д. р. названы в честь Р. Дедекинда, к-рый первым сформулировал модулярный закон и установил ряд его следствий [1]. Лит.:[1] Dedekind R., Gesammelte mathematische Werke, Bd 2, Braunschweig, 1931, S. 236-71; [2] Бэр Р., Линейная алгебра и проективная геометрия, пер. с англ., М., 1955; [3] Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; [4] Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; [5] Скорняков Л. А., Дедекиндовы структуры с дополнениями и регулярные кольца, М., 1961; [6] его же, Элементы теории структур, М., 1970; [7] Neumann J. von, Continuous geometry, N. Y., 1960. Л. А. Скорняков.